Средние величины и показатели вариации в статистике. Средние величины и показатели вариации

Понятие средней величины большинству людей хорошо известно. Обычно среднюю величину воспринимают как отражение общего в значениях признака у множества единиц. Таковы, например, средний возраст жителя страны, средний размер семьи в районе, средний размер прибыли предприятия.

Действительно, средняя величина - это обобщающая оценка признака у множества объектов, которая отражает его характерное значение. Характерное значение фиксирует типическую величину признака, в котором находит выражение своеобразие данной группы объектов и ее отличие от значений признака у других групп.

Например, средняя заработная плата работников в разных видах деятельности в 2015 г. в России составила, тыс. руб. :

• сельское хозяйство - 19,5;
• добыча полезных ископаемых - 63,7;
• обрабатывающие производства - 31,8;
• строительство - 29,9.

В разном уровне оплаты, т.е. в разной средней заработной плате работника, проявляются особенности организации труда в разных видах деятельности и в конечном счете - общественное признание того или иного труда.

В приведенном примере даны средние, которые рассчитаны по группам, состоящим из объектов одного вида деятельности и которые в этом смысле могут быть названы однородными. Подобные средние называются групповыми. Они интересны тем, что связаны с конкретными объектами и условиями их существования. Когда производится расчет групповых средних, то при одинаковых, например, условиях труда происходит взаимное погашение влияния случайных причин на заработную плату. В то же время при расчете групповой средней усиливается влияние особых, специфических условий, поскольку они действуют постоянно и в одном направлении. В групповой средней отражаются особенности однородных объектов и погашается случайность. Именно но этим причинам групповые средние находят широкое практическое применение.

Когда речь заходит об общей средней но множеству, включающему несколько однородных групп, то при ее расчете погашается действие не только случайных, но и групповых особенностей. Так, общая средняя заработная плата занятого в экономике страны в 2015 г. составила 34 тыс. руб. В ней не отражаются особенности оплаты труда в разных видах деятельности, а показывается лишь общий уровень оплаты труда занятых в ЭКОНОМИКС.

Сравним среднюю заработную плату работников разных видов деятельности в 2010 и 2015 гг. в экономике РФ (табл. 6.1).

Таблица 6.1

Средняя заработная плата в разных видах деятельности и ее изменения,

Источник: Россия в цифрах. 2016. Табл. 7.7.

В темпах изменения средних по видам деятельности, т.е. в групповых средних, проявляются частные закономерности изменения заработной платы: в интервале от 1,41 до 1,82 раза. Сравнивая изменение общей средней, устанавливаем общую закономерность изменения уровня заработной платы в экономике страны: увеличение в 1,62 раза.

Всесторонний анализ предполагает совместное использование общих и групповых средних: это позволяет характеризовать общие закономерности развития и особенности их проявления в конкретных условиях.

Расчет средней выполняется в два этапа. На первом этапе производится обобщение индивидуальных значений изучаемого признаках, у множества, состоящего из п единиц: {х-}. На втором этапе полученный результат распределяется между множеством этих п единиц: {х,} + п - х.

При обобщении значений признака у п объектов множества {х,} происходит взаимное погашение влияния случайных причин и усиливается действия неслучайных систематических факторов. При распределении обобщенного значения признака между п единицами множества {х; -} п определяется средняя типическая его величина х у одной абстрактной единицы. В результате имеем либо групповую среднюю по группе однородных объектов: {х; }-н п = х, либо общую среднюю для всего изучаемого множества {х,} -г- п = х.

Для расчета средних существуют несколько способов, которые отличаются порядком обобщения и распределения.

Средняя арифметическая обобщает индивидуальные значения x f суммированием, а равномерное распределение - делением суммы дг, на число

единиц, участвующих в расчете:

Частое использование арифметической средней объясняется ее особыми свойствами, которые делают ее расчет более простым, а результат - легко проверяемым.

Сумма отклонений значений признака от арифметической средней равна нулю:

Если значения признака х, изменить на число Л, то арифметическая

средняя изменится на это же число:

Если значения признака х, увеличить в А раз, то арифметическая средняя увеличится в А раз:

Если значения признака Xj уменьшить в А раз, то арифметическая средняя также уменьшится в

Средняя гармоническая используется в тех случаях, когда расчет выполняется по значениям признака, который связан с изучаемым признаком обратной зависимостью, т.е. при условии, что V определяется по значениям признака

Например, показатель выработки продукции на работника:

Показатель трудоемкости единицы продукции:

Показатели выработки и трудоемкости находятся в обратной зависимости: . Поэтому при расчете средней выработки по значениям трудоемкости следует применять гармоническую среднюю

Средняя квадратическая применяется в случаях, когда при обобщении значений признака А/, необходимо избежать нулевого результата, так как квадратов рассчитывают среднюю: , а из полученной

средней извлекают квадратный корень:

Наиболее часто квадратическая средняя применяется при расчете показателей вариации и оценок различий структур множества.

Средняя геометрическая обобщает значения признака путем расчета

их произведения: , а из результата извлекается

корень п -й степени:

Наиболее логически оправдано применение геометрической средней при расчете из цепных темпов роста среднего темпа роста:

Разный порядок расчета средних объясняет разные значения результата. Свойство мажорантности средних величин устанавливает зависимость величины средней от показателя ее степени: чем выше показатель степени средней, тем больше ее значение. Каждая из рассмотренных средних представляет собой разновидность степенной средней (табл. 6.2).

Таблица 6.2

Формы средних величин

Форма средней	Расчетная формула	Показатель степени средней (с)
Квадратическая
Арифметическая
Геометрическая
Гармоническая

В качестве иллюстрации свойства мажорантности выполним по данным о численности населения федеральных округов РФ расчет разных средних (табл. 6.3).

Приведенный пример подтверждает, что с увеличением степени средней: от наименьшей - для гармонической, до наибольшей - для квадратической, величина средней увеличивается. Свойство мажорантности средних можно представить в виде неравенств: V

Из свойства мажорантности следует вывод о том, что выбор способа расчета средней не может быть произвольным. Он должен основываться на смысловом содержании исходных данных и на условиях применения конкретной формы средней.

Известно, что геометрическая средняя используется для обобщения темпов роста, а квадратическая - в тех случаях, когда сумма значений признака равна нулю. Поэтому наиболее востребованными практикой являются арифметическая и гармоническая формы средних.

По особым правилам проводится расчет средних из абсолютных и относительных значений изучаемых характеристик. Рассмотрим особенности расчета средних на примере данных но федеральным округам РФ за 2014 г. (табл. 6.4).

В табл. 6.4 использованы следующие признаки и их обозначения.

Численность занятых в экономике федерального округа, млн человек Р,.

Численность занятых в процентах от численности всего населения федерального округа, % - С,.

Приходится оборота розничной торговли за год в среднем на одного жителя федерального округа, тыс. руб. - Т г

Приходится инвестиций в среднем на одного занятого в экономике федерального округа, тыс. руб. - R r

Таблица 63

Расчет средней численности населения федеральных округов РФ с применением различных средних

Федеральный	Численность населения
Центральный
Северо-Западный
Северо-Кавказский
Приволжский
Уральский

Федеральный	Численность населения на 01.01.2016
Сибирский
Дальневосточный
Крымский
				И 196 529 418,1
Квадратическая средняя (см. формулу (6.1))
Арифметическая средняя (см. формулу (6.2))
Геометрическая средняя (см. формулу (6.3))
Гармоническая средняя (см. формулу (6.4))

Источник: Россия в цифрах. 2016. Табл. 1.3.

Особенность абсолютных значений признака в том, что они непосредственно относятся к единице совокупности и определяют ее абсолютные размеры. Например, для федерального округа как единицы множества абсолютными значениями будут численность населения, численность занятых, стоимость произведенной продукции, стоимость основного капитала, прибыль от реализации продукции и т.п. Приведенные признаки относятся непосредственно к федеральному округу, называются первичными и по их значениям можно определить размеры каждого изучаемого объекта. При обработке абсолютных значений этих признаков точно учитывается размер каждой единицы и поэтому нет никаких ограничений для обобщения их значений путем непосредственного суммирования. Средняя, при расчете которой обрабатываются значения единственного признака, называется простой. Например, простая средняя применяется для расчета средней численности занятых в экономике одного федерального округа (табл. 6.4).

Таблица 6.4

Расчет средних значений экономических показателей по федеральным

округам РФ, 2014 г.

Источник: Россия в цифрах. 2016. Табл. 1.3.

Примечание : знак «х» означает, что данная ячейка не подлежит заполнению.

Расчет выполняется по следующей формуле:

В экономике федерального округа в среднем за 2014 г. было занято 8,5 млн человек.

Средние из относительных значений определяются но более сложной схеме. Особенность относительных значений в том, что они не связаны непосредственно с размерами изучаемых единиц, а без этого учета подсчет точной средней обычно невозможен. В подобных случаях в расчет должны включаться дополнительные значения характеристик, которые отражают абсолютные размеры каждой из изучаемых единиц. В расчете средней помимо изучаемой участвует дополнительная характеристика или вес , поэтому средняя называется взвешенной. При расчете взвешенной средней в качестве веса всегда выступает абсолютная характеристика или первичный признак. Вес позволяет учесть абсолютные размеры каждой единицы и обеспечивает расчет точного значения средней.

В приведенном примере характеристики С, Г, и являются относительными, поэтому прямое суммирование их значений недопустимо. Для определения схемы расчета их средних значений установим порядок расчета их индивидуальных значений.

Расчет процента занятых от численности всего населения выполняется но следующей формуле: В расчетной формуле

неизвестна по условию задачи численность населения. Для определения

ее значения выразим численность населения через численность занятых Р, и известные значения процента занятых от численности всего населения С,:

или

Чтобы определить численность населения в млн человек, необходимо разделить численность занятых в экономике Р, на их долю в численности всего населения С,. Поэтому необходимо значения С, перевести из процентов в доли единицы:

Рассчитаем неизвестное значение численности населения в дополнительной расчетной графе (табл. 6.5, гр. 2).

При известных значениях численности занятых Р, и численности всего

населения расчет процента занятых в буквенной форме имеет вид

Общая средняя С рассчитывается по той же схеме, что и индивидуальные значения характеристики С,-. Разница лишь в том, что при расчете общей средней С используются итоговые значения сравниваемых признаков: численности занятых, млн человек и численности всего населения, млн человек То есть расчет общей средней С но восьми

федеральным округам выполняется по формуле

Расчет средних значений относительных характеристик по экономике РФ в 2014 г.

Таблица 6.5

Составлено и рассчитано по: Россия в цифрах. 2016. Табл. 1.3.

В Экономикс России в 2014 г. доля занятого населения составляла в среднем 47,2% численности всего населения. Расчет выполнен по гармонической средней взвешенной , в которой весом выступил первичный признак P t - численность занятых в экономике.

Аналогичные рассуждения лежат в основе расчета средних значений двух других относительных характеристик: средней стоимости оборота розничной торговли на одного жителя, Т тыс. руб., и средней стоимости инвестиций на одного занятого, R тыс. руб.

Индивидуальные значения стоимости оборота розничной торговли на одного жителя, тыс. руб., рассчитываются как результат сравнения оборота розничной торговли за год, млрд руб., с численностью всего населения, млн человек:

По условию задачи неизвестна стоимость оборота розничной торговли. Поэтому выразим неизвестные значения оборота розничной торговли через известные значения численности всего населения и заданные в условии задачи значения Т г Искомый оборот розничной торговли (товарооборот) есть произведение численности всего населения и величины товарооборота на одного жителя:

Величина оборота розничной торговли измеряется в млрд руб., так как при его расчете численность жителей в млн человек умножаем на товарооборот на одного жителя в тыс. руб.

Определим неизвестные значения оборота розничной торговли за год в гр. 5 табл. 6.5.

Расчет общего среднего значения оборота розничной торговли на одного жителя, тыс. руб., Т , выполним по итоговым значениям суммы оборота

розничной торговли, млрд руб., , и суммарной численности всего

населения, млн чел., . Расчетная формула имеет вид

В 2014 г. на одного жителя в Российской Федерации приходилось в среднем 181,5 тыс. руб. оборота розничной торговли. При расчете использована арифметическая взвешенная средняя, а весом выступают абсолютные значения общей численности населения:

Для расчета стоимости инвестиций на одного занятого необходимо стоимость инвестиций, млрд руб., сравнить с численностью занятых в экономике, млн человек:

По условию неизвестна стоимость инвестиций, поэтому для расчета ее значений следует выразить инвестиции через известные значения численности занятых Pj и через заданные в условии задачи величины инвестиций на одного занятого /?,:

Подсчет неизвестного значения общей суммы инвестиций выполним в гр. 7 табл. 6.5.

Рассчитанные значения общей суммы инвестиций позволяют определять индивидуальные значения инвестиций на одного занятого по формуле

Для РФ в целом среднее значение инвестиций в расчете на одного занятого К рассчитаем как отношение суммы инвестиций за год?/? Р к сумме численности занятых

В 2014 г. инвестиции в расчете на одного занятого составили в среднем 198,8 тыс. руб. При расчете использована средняя арифметическая взвешенная, весом являются абсолютные значения численности занятых.

Завершающим этапом расчета средних является проверка правильности результата. Логическая проверка основана на анализе схемы расчета индивидуальных значений характеристики и на определении смысла признака- веса. Счетный контроль устанавливает, находится ли средняя в интервале от минимального до максимального значения изучаемого признака. Если выполняется условие X mjn то расчет средней выполнен верно. Если данное условие не выполняется, то в расчете допущены ошибки, которые необходимо выявить и исправить.

В нашем примере (см. табл. 6.5) для всех значений рассчитанных средних данное условие выполняется:

простая арифметическая Р = 8,5, 3,3 Р

взвешенная гармоническая С = 47,2 , 36,3 С 53,2;

взвешенная арифметическая Т = 181,5, 134,7 Т

взвешенная арифметическая R = 198,8, 142,9 R 383,3 .

Это означает, что в определении средних значений не допущено расчетных ошибок, а использование взвешенных средних для расчета средних из относительных величин позволило учесть размеры изучаемых единиц - федеральных округов РФ.

Подводя итог, напомним основные правила построения средних величин.

По абсолютным значениям признака допустим расчет простой средней. Как правило, в большинстве случаев применяется арифметическая средняя. Например, расчет Р.

По относительным значениям расчет выполняется но взвешенной средней, в которой весом являются абсолютные значения первичного признака, связанного по смыслу с изучаемым признаком. Например, расчет С, Т и R.

В качестве веса используются значения признака, по отношению к которому рассчитаны относительные значения вторичного признака. Вес может отображаться весьма просто, как, например, при расчете С и R, где в качестве веса использована численность занятых Р г Но он может иметь и сложное отображение, как, например, при расчете Г, у которого весом

была численность всего населения. Каким бы образом ни отображался

признак-вес, он всегда должен представлять собой абсолютную оценку изучаемого объекта.

Выбор формы средней в большинстве случаев ограничен арифметической или гармонической, так как квадратическая и геометрическая применяются лишь в строго определенных случаях.

Арифметическая форма средней применяется в тех случаях, когда в условии поставленной задачи отсутствуют значения признака, который связан с изучаемым признаком прямой зависимостью, т.е. когда в расчетной формуле индивидуальных значений отсутствуют сведения о ее числителе. Примером могут быть расчеты Р, Т и R.

Если в расчетной формуле отсутствуют данные о знаменателе отношения, то используется гармоническая средняя. В этом случае изучаемый признак связан с неизвестным признаком обратной зависимостью, как, например, при расчете С.

Правильно выполненные расчеты позволяют получить точные средние значения, которые отражают характерную величину признака и представляют интерес при решении аналитических и прогнозных задач.

• См.: Россия в цифрах. 2016. Табл. 7.7.

Вариация -- это различие в значениях какого-либо признака у разных единиц данной совокупности в один и тот же период или момент времени.

Например, работники фирмы различаются по доходам, затратам времени на работу, росту, весу, любимому занятию в свободное время и т.д.

Вариация возникает в результате того, что индивидуальные значения признака складываются под совокупным влиянием разнообразных факторов (условий), которые по-разному сочетаются в каждом отдельном случае. Таким образом, величина каждого варианта объективна.

Исследование вариации в статистике имеет большое значение, помогает познать сущность изучаемого явления. Особенно актуально оно в период формирования многоукладной экономики. Измерение вариации, выяснение ее причины, выявление влияния отдельных факторов дает важную информацию (например, о продолжительности жизни людей, доходах и расходах населения, финансовом положении предприятия и т.п.) для принятия научно обоснованных управленческих решений.

Средняя величина дает обобщающую характеристику признака изучаемой совокупности, но она не раскрывает строения совокупности, которое весьма существенно для ее познания. Средняя не показывает, как располагаются около нее варианты осредняемого признака, сосредоточены ли они вблизи средней или значительно отклоняются от нее. Средняя величина признака в двух совокупностях может быть одинаковой, но в одном случае все индивидуальные значения отличаются от нее мало, а в другом -- эти отличия велики, т.е. в одном случае вариация признака мала, а в другом -- велика, это имеет весьма важное значение для характеристики надежности средней величины.

Чем больше варианты отдельных единиц совокупности различаются между собой, тем больше они отличаются от своем средней, и наоборот, -- чем меньше варианты отличаются друг от друга, тем меньше они отличаются от средней, которая в тан ком случае будет более реально представлять всю совокупность. Вот почему ограничиваться вычислением одной средней в ряде случаев нельзя. Нужны и другие показатели, характеризующие отклонения отдельных значений от общей средней.

Это можно показать на таком примере. Предположим, что одинаковую работу выполняют две бригады, каждая -- из трех человек. Пусть количество деталей, шт., изготовленных за смену отдельными рабочими, составляло:

в первой бригаде -- 95, 100, 105 (= 100 шт.);

во второй бригаде -- 75, 100, 125 (= 100 шт.).

Средняя выработка на одного рабочего в обеих бригадах одинакова и составляет= = 100 шт., однако колеблемость выработки отдельных рабочих в первой бригаде значительно меньше, чем во второй.

Поэтому возникает необходимость измерять вариацию признака в совокупностях. Для этой цели в статистике применяют ряд обобщающих показателей.

• Ш К показателям вариации относятся: размах вариации, среднее линейное отклонение, дисперсия и среднее квадратическое отклонение, коэффициент вариации.
• Ш Самым элементарным показателем вариации признака является размах вариации R, представляющий собой разность между максимальным и минимальным значениями признака:

В нашем примере размах вариации сменной выработки деталей составляет: в первой бригаде -- R1= 10 шт. (т.е. 105 -- 95); во второй бригаде -- R2= 50 шт. (т.е. 125 -- 75), что в 5 раз больше.

Это свидетельствует о том, что при численном равенстве средняя выработка первой бригады более «устойчива». Размах вариации может служить базой расчета возможных резервов роста выработки. Таких резервов больше у второй бригады, поскольку в случае достижения всеми рабочими максимальной для этой бригады выработки деталей, ею может быть изготовлено 375 шт., т.е. (3x125), а в первой - только 315 шт., т.е. (3 х 105).

Однако размах вариации показывает лишь крайние отклонения признака и не отражает отклонений всех вариантов в ряду. При изучении вариации нельзя ограничиваться только определением ее размаха. Для анализа вариации необходим показатель, который отражает все колебания варьирующего признака и даёт обобщённую характеристику. Простейший показатель такого типа - среднее линейное отклонение

Ш Среднее линейное отклонение d представляет собой среднюю арифметическую абсолютных значений отклонений отдельных вариантов от их средней арифметической (при этом всегда предполагают, что среднюю вычитают из варианта: ().

Среднее линейное отклонение:

Для несгруппированных данных

где n - число членов ряда;

Для сгруппированных данных

где -- сумма частот вариационного ряда.

В формулах (5.18) и (5,19) разности в числителе взяты по модулю, (иначе в числителе всегда будет ноль -- алгебраическая сумма отклонений вариантов от их средней арифметической). Поэтому среднее линейное отклонение как меру вариации признака применяют в статистической практике редко (только в тех случаях, когда суммирование показателей без учета знаков имеет экономический смысл). С его помощью, например, анализируется состав работающих, ритмичность производства, оборот внешней торговли.

Дисперсия признака представляет собой средний квадрат отклонений вариантов от их средней величины, она вычисляется по формулам простой и взвешенной дисперсий (в зависимости от исходных данных):

§ простая дисперсия для несгруппированных данных

§ взвешенная дисперсия для вариационного ряда

Формула (5.21) применяется при наличии у вариантов своих весов (или частот вариационного ряда).

Формулу для расчета дисперсии (5.20) можно преобразовать, учитывая, что

т.е. дисперсия равна разности средней из квадратов вариантов и квадрата их средней.

Техника вычисления дисперсии по формулам (5.20), (5.21) достаточно сложна, а при больших значениях вариантов и частот может быть громоздкой.

Расчет можно упростить, используя свойства дисперсии (доказываемые в математической статистике). Приведем два из них:

первое -- если все значения признака уменьшить или увеличить на одну и ту же постоянную величину А, то дисперсия от этого не изменится;

второе -- если все значения признака уменьшить или увеличить в одно и то же число раз (i раз), то дисперсия соответственно уменьшится или увеличится в i2 раз. Используя второе свойство дисперсии, разделив все варианты на величину интервала, получим следующую формулу вычисления дисперсии в вариационных рядах с равными интервалами по способу моментов:

где -- дисперсия, исчисленная по способу моментов;

i - величина интервала;

новые (преобразованные) значения вариантов (А -- условный ноль, в качестве которого удобно использовать середину интервала, обладающего наибольшей частотой);

Момент второго порядка;

Квадрат момента первого порядка.

Расчет дисперсии по формуле (5.23) менее трудоемок.

Дисперсия имеет большое значение в экономическом анализе. В математической статистике важную роль для характеристики качества статистических оценок играет их дисперсия. Ниже, в частности, будет показано разложение дисперсии на соответствующие элементы, позволяющие оценить влияние различных факторов, обуславливающих вариацию признака; использование дисперсии для построения показателей тесноты корреляционной связи при оценке результатов выборочных наблюдений.

• Ш Среднее квадратическое отклонение равно корню квадратному из дисперсии:
  • § для несгруппированных данных

§ для вариационного ряда

Среднее квадратическое отклонение -- это обобщающая характеристика размеров вариации признака в совокупности; оно показывает, на сколько в среднем отклоняются конкретные варианты от их среднего значения; является абсолютной мерой колеблемости признака и выражается в тех же единицах, что и варианты, поэтому экономически хорошо интерпретируется.

Обозначим: 1 -- наличие интересующего нас признака; 0 -- его отсутствие; р -- доля единиц, обладающих данным признаком; q -- доля единиц, не обладающих данным признаком; p + q =1. Исчислим среднее значение альтернативного признака и его дисперсию. Среднее значение альтернативного признака

вариация средний величина квадратический

так как р + q = 1.

Дисперсия альтернативного признака

Подставив в формулу дисперсии q = 1- р, получим

Таким образом, = pq -- дисперсия альтернативного признака равна произведению доли единиц, обладающих признаком, на долю единиц, не обладающих данным признаком.

Например, если на 10 000 человек населения района приходится 4500 мужчин и 5500 женщин, то

Дисперсия альтернативного признака = pq = 0,45*0,55 = 0,2475.

Предельное значение дисперсии альтернативного признака равно 0,25. Оно получается при р = 0,5.

Среднее квадратическое отклонение альтернативного признака

Если, например, 2% всех деталей бракованные (р = 0,02), то 98% -- годные (q = 0,98), тогда дисперсия доли брака

0,02- 0,98 = 0,0196.

Среднее квадратическое отклонение доли брака составит:

0,14, т.е. = 14%.

При вычислении средних величин и дисперсии для интервальных рядов распределения истинные значения признака заменяются центральными (серединными) значениями интервалов, которые отличаются от средней арифметической значений, включенных в интервал. Это приводит к появлению систематической погрешности при расчете дисперсии. В.Ф.Шеппард установил, что погрешность в расчете дисперсии, вызванная применением сгруппированных данных, составляет 1/12 квадрата величины интервала (т.е. i2/12) как в сторону занижения, так и в сторону завышения величины дисперсии.

Поправка Шеппарда должна применяться, если распределение близко к нормальному, относится к признаку с непрерывным характером вариации, построено по большому количеству исходных данных (n>500). Однако исходя из того, что в ряде случаев обе погрешности, действуя в противоположных направлениях, нейтрализуются и компенсируют друг друга, можно иногда отказаться от введения поправок.

Чем меньше значение дисперсии и среднего квадратического отклонения, тем однороднее (количественно) совокупность и тем более типичной будет средняя величина.

В статистической практике часто возникает необходимость сравнения вариаций различных признаков. Например, большой интерес представляет сравнение вариаций возраста рабочих и их квалификации, стажа работы и размера заработной платы, себестоимости и прибыли, стажа работы и производительности труда и т.д. Для подобных сопоставлений показатели абсолютной колеблемости признаков непригодны: нельзя сравнивать колеблемость стажа работы, выраженного в годах, с вариацией заработной платы, выраженной в рублях.

Для осуществления такого рода сравнений, а также сравнений колеблемости одного и того же признака в нескольких совокупностях с различным средним арифметическим используют относительный показатель вариации -- коэффициент вариации.

Коэффициент вариации представляет собой выраженное в процентах отношение среднего квадратического отклонения к средней арифметической:

Коэффициент вариации используют не только для сравнительной оценки вариации единиц совокупности, но и как характеристику однородности совокупности. Совокупность считается количественно однородной, если коэффициент вариации не превышает 33 %.

Покажем расчет различными способами показателей вариации на примере данных о сменной выработке рабочих бригады, представленных интервальным рядом распределения (табл. 5.7).

Исчислим среднесменную выработку, шт.:

Рассчитаем дисперсию выработки по (5.21):

Найдем среднее квадратическое отклонение, шт.:

Определим коэффициент вариации, %:

Таким образом, данная бригада рабочих достаточно однородна по выработке, поскольку вариация признака составляет лишь 8%.

Теперь выполним расчет дисперсии по формуле (5.22) и по способу моментов по формуле (5.23), для расчета воспользуемся данными табл. 5.7, графы 8-11.

Расчет дисперсии по формуле (5.20):

Расчет дисперсии по способу моментов, см. формулу (5.21):

где А = 50 -- центральный вариант с наибольшей частотой;

i = 20 -- величина интервала данного ряда;

Таблица 5.7

Распределение рабочих по сменной выработке изделия А и расчетные значения для исчисления показателей вариации

Как видим, наименее трудоемким является метод исчисления дисперсии способом моментов.

Реферат

Средние величины и показатели вариации

1.Сущность средних в статистике

2.Виды средних величин и способы их расчёта

3.Основные показатели вариации и их значение в статистике

1. Сущность средних величин в статистике

В процессе изучения массовых социально-экономических явлений возникает необходимость выявления их общих свойств, типичных размеров и характерных признаков. Необходимость в обобщающем среднем показателе возникает в том случае, когда признаки, характеризующие единицы изучаемой совокупности, количественно варьируют. Например, размер дневной выработки ткачей на текстильной фабрике зависит от общих условий производства, ткачи используют одинаковое сырьё, работают на одинаковых станках и т.д. В то же время часовая выработка отдельных ткачей колеблется, т.е. варьирует, так как зависит от индивидуальных особенностей каждого ткача (его квалификации, профессионального опыта и т.д.). Чтобы характеризовать дневную выработку всех ткачей предприятия, необходимо исчислить среднюю величину дневной выработки, так, как, только, в, этом, показателе найдут отражение общие для ткачей условия производства.

Таким образом, исчисление средних обобщающих показателей означает отвлечение (абстрагирование) от особенностей, отражающихся в величине признака у отдельных единиц, и выявление общих для данной совокупности типичных черт и свойств.

Таким образом, средней величиной в статистике является обобщённая, количественна характеристика признака и статистической совокупности. Она выражает характерную, типичную величину признака у единиц совокупности, образующихся в данных условиях места и времени под влиянием всей совокупности факторов. Действие разнообразных факторов порождает колебание, вариацию усредняемого признака. Средняя величина является общей мерой их действия, равнодействующей всех этих факторов. Средняя величина характеризует совокупность по усредняемому признаку, но относится к единице совокупности. Например, средняя выработка продукции на одного рабочего данного предприятия представляет собой отношение всей выработки (за любой период времени) к общей (средней за тот же период) численности его рабочих. Она характеризует производительность труда данной совокупности, но относится к одному рабочему. В средней величине массового явления погашаются индивидуальные различия единиц статистической совокупности в значениях усредняемого признака, обусловленные случайными обстоятельствами. Вследствие этого взаимопогашения в средней проявлявляется общее, закономерное свойство данной статистической совокупности явлений. Между средней и индивидуальными значениями осреднённого признака существует диалектическая связь как между общим и отдельным. Средняя является важнейшей категорией статистической науки и важнейшей формой обобщающих показателей. Многие явления общественной жизни становятся ясными, определёнными, лишь, будучи обобщенными, в форме средних величин. Таковы, например, упомянутая выше производительность труда, совокупность рабочих, урожайность сельскохозяйственных культур и т.д. Средняя выступает в статистике важнейшим методом научного обобщения. В этом смысле говорят о методе средних величин, который широко применяется в экономической науке. Многие категории экономической науки определяются с использованием понятия средней.

Основным условием правильного применения средней величины является однородность статистической совокупности по усредняемому признаку. Однородной статистической совокупностью называется такая совокупность, в которой её составные элементы (единицы) сходны между собой по существенным для данного исследования признакам и относятся к одному и тому же типу явлений. Однородная совокупность, будучи однородна по одним признакам, может быть разнородной по другим. Только в средних для таких совокупностей проявляются специфические особенности, закономерности развития анализируемого явления. Средняя вычисленная для неоднородной статистической совокупности, т.е. такой в которой объединены качественно различные явления, теряет своё научное значений. Такие средние являются фиктивными, не только не дающими представления о действительности, но и искажающими её. Для формирования однородных статистических совокупностей производится соответствующая группировка. С помощью группировок и в качественно однородной совокупности могут быть выделены характерные в количественном отношении группы. Для каждой из них может быть вычислена своя средняя, называемая средней групповой (частной) в отличие от общей средней (для совокупности в целом).

2. Виды средних величин

Большое значение в методологии средних величин имеют вопросы выбора формы средней, т.е. формулы по которой можно правильно вычислить среднюю величину, и выбора весов средней. Наиболее часто в статистике применяются средняя агрегатная, средняя арифметическая, средняя гармоническая, средняя геометрическая, средняя квадратичная, мода и медиана. Применение той или иной формулы зависит от содержания усредняемого признака и конкретных данных, по которым её необходимо рассчитать. Для выбора формы средней можно воспользоваться так называемым средним исходным соотношением.

2.1 Средняя арифметическая

Средняя арифметическая - одна из наиболее распространенных форм средней величины. Средняя арифметическая рассчитывается как частное от деления суммы индивидуальных значений (вариантов) варьирующего признака на их число. Средняя арифметическая применяется в тех случаях, когда объём варьирующего признака явлений однородной статистической совокупности, образуется путём суммирования значений признака всех единиц явлений статистической совокупности. Различают следующие средне арифметические величины:

1) Простая средняя арифметическая , которая определяется путём простого суммирования количественных значений варьирующего признака и деления этой сумы на их варианты и рассчитывается по следующей формуле:

Х - средняя величина статистической совокупности,

x i - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

n i - количество варьирующих вариантов явлений статистической совокупности.

2) Среднеарифметическая взвешенная - средняя величина признака явления, вычисленная с учётом весов. Веса средних величин - частоты, с которыми отдельные значения признака осредняемого принимаются в расчёт при исчислении его средней величины. Выбор весов средней величины зависит от сущности усредняемого признака и характера данных, которыми располагают для вычисления средних величин. В качестве весов средних величин могут быть показатели численности единиц или размеры частей статистической совокупности (в форме абсолютных или относительных величин), обладающих данным вариантом (значением) усредняемого признака явления статистической совокупности, а также величины показателя связанного с усредняемым признаком. Среднеарифметическая взвешенная рассчитывается по следующей формуле:

X- средняя арифметическая взвешенная,

х - величина отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

Назначение простой, и взвешенной средней арифметической является определение среднего значения варьирующего признака. Если в изучаемой статистической совокупности варианты значений признака встречаются по одному разу или имеют одинаковый вес, то применяется простая средняя арифметическая, если же варианты значений данного признака встречаются в изучаемой совокупности по несколько раз или имеют различные веса, для определения среднего значения варьирующего признака применяется средняя арифметическая взвешенная.

2.2 Средняя гармоническая

Средняя гармоническая применяется для расчёта средней величины тогда, когда непосредственные данные о весах отсутствуют, а известны варианты усредняемого признака (х) и произведения значений вариантов на количество единиц, обладающих данным его значением w (w = xf).

Данная средняя рассчитывается по следующим формулам:

1.) Среднегармоническая простая:

Х - средняя гармоническая простая,

n - количество варьирующих вариантов явлений статистической совокупности.

2) Среднегармоническая взвешенная:

Х - средняя гармоническая взвешенная,

х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

При использовании гармонической взвешенной выявляют веса и таким образом получают тот же результат, который дал бы расчёт по средней арифметической взвешенной, если бы были известны все необходимые для этого данные.

2.3 Средняя агрегатная

Средняя агрегатная рассчитывается по формуле:

X - средняя агрегатная,

х - сумма отдельных варьирующих вариантов явлений статистической совокупности,

Средняя агрегатная вычисляется в тех случаях, когда известны (имеются) значения числителя и значения знаменателя исходного соотношения средней.

2.4 Средняя геометрическая

Часто в статистике при анализе какого-либо явления или процесса необходимо учитывать не только информацию о средних уровнях исследуемых показателей, но и разброс или вариацию значений отдельных единиц , которая является важной характеристикой изучаемой совокупности.

В наибольшей степени вариации подвержены курсы акций, объемы спроса и предложения, процентные ставки в разные периоды времени и в разных местах.

Основными показателями, характеризующими вариацию , являются размах, дисперсия, среднее квадратическое отклонение и коэффициент вариации.

Размах вариации представляет собой разность максимального и минимального значений признака: R = Xmax – Xmin . Недостатком данного показателя является то, что он оценивает только границы варьирования признака и не отражает его колеблемость внутри этих границ.

Дисперсия лишена этого недостатка. Она рассчитывается как средний квадрат отклонений значений признака от их средней величины:

Упрощенный способ расчета дисперсии осуществляется с помощью следующих формул (простой и взвешенной):

Примеры применения данных формул представлены в задачах 1 и 2.

Широко распространенным на практике показателем является среднее квадратическое отклонение :

Среднее квадратическое отклонение определяется как квадратный корень из дисперсии и имеет ту же размеренность, что и изучаемый признак.

Рассмотренные показатели позволяют получить абсолютное значение вариации, т.е. оценивают ее в единицах измерения исследуемого признака. В отличие от них, коэффициент вариации измеряет колеблемость в относительном выражении - относительно среднего уровня, что во многих случаях является предпочтительнее.

Формула для расчета коэффициента вариации.

Примеры решения задач по теме «Показатели вариации в статистике»

Задача 1 . При изучении влияния рекламы на размер среднемесячного вклада в банках района обследовано 2 банка. Получены следующие результаты:

Определить:
1) для каждого банка: а) средний размер вклада за месяц; б) дисперсию вклада;
2) средний размер вклада за месяц для двух банков вместе;
3) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от рекламы;
4) Дисперсию вклада для 2-х банков, зависящую от всех факторов, кроме рекламы;
5) Общую дисперсию используя правило сложения;
6) Коэффициент детерминации;
7) Корреляционное отношение.

Решение

1) Составим расчетную таблицу для банка с рекламой . Для определения среднего размера вклада за месяц найдем середины интервалов. При этом величина открытого интервала (первого) условно приравнивается к величине интервала, примыкающего к нему (второго).

Средний размер вклада найдем по формуле средней арифметической взвешенной:

29 000/50 = 580 руб.

Дисперсию вклада найдем по формуле:

23 400/50 = 468

Аналогичные действия произведем для банка без рекламы :

2) Найдем средний размер вклада для двух банков вместе. Хср =(580×50+542,8×50)/100 = 561,4 руб.

3) Дисперсию вклада, для двух банков, зависящую от рекламы найдем по формуле: σ 2 =pq (формула дисперсии альтернативного признака). Здесь р=0,5 – доля факторов, зависящих от рекламы; q=1-0,5, тогда σ 2 =0,5*0,5=0,25.

4) Поскольку доля остальных факторов равна 0,5, то дисперсия вклада для двух банков, зависящая от всех факторов кроме рекламы тоже 0,25.

5) Определим общую дисперсию, используя правило сложения.

= (468*50+636,16*50)/100=552,08

= [(580-561,4)250+(542,8-561,4)250] / 100= 34 596/ 100=345,96

σ 2 = σ 2 факт + σ 2 ост = 552,08+345,96 = 898,04

6) Коэффициент детерминации η 2 = σ 2 факт / σ 2 = 345,96/898,04 = 0,39 = 39% - размер вклада на 39% зависит от рекламы.

7) Эмпирическое корреляционное отношение η = √η 2 = √0,39 = 0,62 – связь достаточно тесная.

Задача 2 . Имеется группировка предприятий по величине товарной продукции:

Определить: 1) дисперсию величины товарной продукции; 2) среднее квадратическое отклонение; 3) коэффициент вариации.

Решение

1) По условию представлен интервальный ряд распределения. Его необходимо выразить дискретно, то есть найти середину интервала (х"). В группах закрытых интервалов середину найдем по простой средней арифметической. В группах с верхней границей - как разность между этой верхней границей и половиной размера следующего за ним интервала (200-(400-200):2=100).

В группах с нижней границей – суммой этой нижней границы и половины размера предыдущего интервала (800+(800-600):2=900).

Расчет средней величины товарной продукции делаем по формуле:

Хср = k×((Σ((х"-a):k)×f):Σf)+a. Здесь а=500 - размер варианта при наибольшей частоте, k=600-400=200 - размер интервала при наибольшей частоте. Результат поместим в таблицу:

Итак, средняя величина товарной продукции за изучаемый период в целом равна Хср = (-5:37)×200+500=472,97 тыс. руб.

2) Дисперсию найдем по следующей формуле:

σ 2 = (33/37)*2002-(472,97-500)2 = 35 675,67-730,62 = 34 945,05

3) среднее квадратическое отклонение: σ = ±√σ 2 = ±√34 945,05 ≈ ±186,94 тыс. руб.

4) коэффициент вариации: V = (σ /Хср)*100 = (186,94 / 472,97)*100 = 39,52%

Под средней величиной в статистике понимается обобщенная количественная характеристика признака в статистической совокупности, выражающая его типичный уровень в конкретных условиях места и времени.

Средняя величина исчисляется по качественно однороднойсовокупности единиц. Различают степенные и структурные средние.

Средняя арифметическаявеличина определяется в случае, когда общий объем изучаемого признака может быть получен, путем суммирования его индивидуальных значений. Средняя арифметическая представляет собой частное от деления общего объема данного признака в изучаемом явлении на число единиц совокупности.

Средняя гармоническая используется, когда имеются индивидуальные значения признака, общий объем явления (w=xf ), но неизвестны веса (f ).

Средняя геометрическая применяется при расчете средних темпов роста.

Средняяквадратическая применяется в тех случаях, когда в исходной информации осредняемые величины представлены квадратичными мерами (например, при расчете средних диаметров труб, стволов деревьев).

Средняя хронологическая применяется для определения среднего уровня в моментном ряду динамики.

Модой дискретного вариационного ряда называется вариант, имеющий наибольшую частоту. Ряды могут быть одно и многомодальными.

Медианой дискретного вариационного ряда называется вариант, делящий ряд на две равные части.

Таблица 3.1 – Формулы расчета средних величин

Для характеристики колеблемости или рассеяния значений признака применяются абсолютные и относительные показатели вариации.

Размах вариации (R ) представляет собой разность между максимальным и минимальным значениями признака.

Среднее линейное отклонение (L) - это средняя арифметическая из абсолютных значений отклонений отдельных вариант признака от среднего значения.

Дисперсия (σ 2) представляет собой средний квадрат отклонений вариант признака от их средней величины.

Среднее квадратическое отклонение (σ) определяется как корень квадратный из дисперсии.

Относительным показателем колеблемости служит коэффициент вариации , который позволяет судить об интенсивности вариации признака, а, следовательно, и об однородности состава изучаемой совокупности.

Таблица 3.2 – Формулы расчета показателей вариации

Наименование показателя	Простая форма	Взвешеннаяформа
Размах вариации	R=х max - х min (3.12)
Среднее линейное отклонение	L = (3.13)	L = (3.14)
Дисперсия	= (3.15)	(3.16)
Среднее квадратическое отклонение	(3.17)	(3.18)
Коэффициент вариации	V = или V = (3.19)

Задача 3.1. По данным пяти сельскохозяйственных организаций (приложение А)определить среднюю численность работников, среднегодовую заработную плату на одного работника и показатели вариации численности работников и среднегодовой заработной платы. Сделать вывод.

Методические указания:

Среднюю численность работников на одну организацию и показатели вариации рассчитать как простые формы показателей по формулам, приведенным в таблицах 3.1 и 3.2. Все вспомогательные вычисления провести с использованием макета таблицы3.3.

Таблица 3.3 - Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации

численности работников

Среднегодовую оплату труда работников и показатели вариации оплаты труда определить с использованием взвешенной формы показателей по формулам, приведенным в таблицах 3.1 и 3.2. Расчеты представить в таблице 3.4.

Таблица 3.4 - Вспомогательная таблица для расчета показателей вариации

среднегодовой заработной платы

Задача 3.3. Поданным таблицы 3.5 определить средний процент рентабельности продаж в организациях за каждый год, абсолютный прирост прибыли и рентабельности по каждойорганизации и в целом по всей совокупности.Сделать вывод.

Таблица 3.5 – Финансовые результаты реализации продукции

Задача 3.4. По даннымтаблицы 3.6 определить среднюю урожайность озимой пшеницы,модальное и медианное значения, показатели вариации. Сделать вывод.

Таблица 3.6 – Распределение организаций по урожайности озимой пшеницы

Задача 3.5. По данным таблицы 3.7 определить среднее число детей на одну семью, модальное и медианное значения. Ряд распределения изобразить графически. Сделать вывод.

Таблица 3.7 – Распределение семей по числу детей

Вопросы для самоподготовки

1. Что понимается под средней величиной в статистике?

2. Условия правильного применения средних величин.

3. Назовите виды и формы средних величин.

4. Что характеризует вариация признака?

5. Показатели вариации и способы их расчета.

РЯДЫ ДИНАМИКИ

Одной из важнейших задач статистики является изучение изменения экономических явлений во времени, путем построения и анализа рядов динамики. Ряд динамики представляет собой численные значения статистического показателя в последовательные моменты или периоды времени.

Графически ряды динамики изображаются линейными, либо столбиковыми диаграммами. По оси абсцисс откладываются показатели времени, а по оси ординат - уровни ряда (либо базисные темпы роста).

Введем условные обозначения:

у i – текущий (сравниваемый) уровень, i =1,2,3,…,n;

у 1 – уровень, принятый за постоянную базу сравнения (обычно начальный);

у п – конечный уровень.

Для характеристики развития явления во времени определяют показатели: абсолютный прирост, темп роста, темп прироста базисным и цепным способом, значение одного процента прироста (таблица 4.1).

Таблица 4.1- Расчет текущих показателей ряда динамики

Показатель	Метод расчета
	базисный (с постоянной базой)	цепной (с переменной базой)
Абсолютный прирост (А)	(4.1)	(4.2)
Коэффициент роста (К р)	(4.3)	(4.4)
Темп роста (Т р)	(4.5)	(4.6)
Темп прироста (Т пр)	(4.7)	(4.8)
Абсолютное значение 1 % прироста (Зн.1%)	Зн.1% = 0,01 у i-1 или Зн.1%= (4.9)

Для характеристики интенсивности развития явления за длительный период времени рассчитываются средние показатели динамики (таблица4.2).

Средние показатели динамики исчисляются одинаково для интервальных и моментных рядов, исключение составляет лишь расчет среднего уровня ряда.

Таблица 4.2 – Расчет средних показателей ряда динамики

Показатель	Метод расчета
Средний уровень () а) интервального ряда	(4.10)
б) моментного ряда с равными интервалами	(4.11)
в) моментного ряда с неравными интервалами	(4.12)
Средний абсолютный прирост ()	или (4.13)
Средний коэффициент роста ()	= или (4.14)
Средний темп роста (), %	= · 100 % (4.15)
Средний темп прироста (), %	= -100 % или =( -1)·100% (4.16)
Среднее значение 1% прироста,	(4.17)

Для выявления тенденции развития в рядах динамики применяют различные методы: укрупнения временных интервалов (периодов); скользящих средних; аналитического выравнивания.

Основным условием построения и анализа ряда динамики является сопоставимость уровней во времени.

К несопоставимости приводит изменение состава или территориальных границ изучаемой совокупности, переход к другим единицам измерения, инфляционные процессы. Несопоставимыми ряды динамики являются и в том случае, если они составлены из неодинаковых по продолжительности времени периодов.

При обнаружении несопоставимости уровней ряда должна применяться процедура смыкания, если невозможен их прямой пересчет.

Смыкание может быть произведено двумя способами.

1 способ. Данные за предшествующие периоды умножаются на коэффициент перехода, который определяется как отношение показателей на тот момент времени, когда произошло изменение условий формирования уровней ряда.

2 способ. Уровень переходного периода принимается для второй части ряда за 100% и от этого уровня определяются соответствующие показатели. При этом получается сопоставимый ряд относительных величин.

Иногда в динамических рядах отсутствуют промежуточные или последующие уровни. Их можно исчислить с помощью методов интерполяции (нахождение промежуточного неизвестного уровня, при наличии известных соседних уровней) и экстраполяции (нахождение уровней за пределами изучаемого ряда, т.е. продление в будущее тенденции, наблюдавшейся в прошлом, или в прошлое на основании текущих уровней).

Пример 4.1 . По имеющимся данным о цене производителей на автомобильный бензин рассчитать показатели ряда динамики. Сделать вывод.

Таблица 4.3 - Расчет показателей ряда динамики

Вывод: расчеты показали, что средняя цена бензина в динамике за 5 лет составила11437,2 руб. за 1 т. При этом ежегодно наблюдался рост цены в среднем на 1168,0 руб. или на 10,9%.Один процент прироста соответствовал107,16 руб.

Пример 4.2 . Методом аналитического выравнивания определить тенденцию изменения средней цены производителей лука репчатого. Сделать вывод.

Методические указания:

Метод аналитического выравнивания состоит в подборе для данного ряда динамики такой теоретической линии, которая выражает основные черты или закономерности изменения уровней явления. Чаще всего при выравнивании используют линейное уравнение:

= а + bt, (4.18)

где а – свободный член уравнения;

b – коэффициент;

t – порядковый номер года.

Параметры а и b определяют способом наименьших квадратов, решая систему двух нормальных уравнений:

(4.19)

Систему можно упростить, перенеся начало отсчета времени t (начало координат) в середину ряда динамики. Тогда∑t = 0 и система примет вид:

Отсюда получаем:

(4.20)

Заполним вспомогательную таблицу 4.4.

По имеющимся данным найдем параметры «а» и «b» следующим образом:

а = ;b = .

Уравнение прямой примет вид: = 6,53 + 0,49t.

Подставим значения t в уравнение и найдем теоретические (выравненные) уровни средней цены производителей репчатого лука (последний столбец таблицы 4.4).

Таблица 4.4 - Вспомогательная таблица

Фактические и теоретические уровни цен изобразим на рисунке 4.1.

Рисунок 4.1-Динамика средней цены производителей

репчатого лука, руб./кг

Вывод: расчеты показали, что средняя цена лука репчатого за 2002-2010 гг. составила 6,53 руб. за 1 кг. В среднем она ежегодно повышалась на 0,49 руб. На графике наглядно видна четко выраженная тенденция к росту цены исследуемогопродукта.

Пример 4.3. В 2007 г. на предприятии была произведена смена оборудования, что привело к несопоставимости ряда динамики (таблица 4.5). Привести его к сопоставимому виду, применив смыкание динамического ряда. Сделать вывод.

Таблица 4.5 – Динамика объемов производства продукции предприятия

а) 19,7 ∙ 1,0755 = 21,2;

б)

.

Вывод: расчеты показали, что смена оборудования на данном предприятии привела к росту объема производства продукции. При этом в динамике за 6 лет он увеличился на 4,9 млн. руб. или на 23,1 %.

Задача 4.1. Численность работников предприятия на 1.03 составила 315 чел. 6.03 уволилось 4 чел., 12.03 принято 5 чел., 19.03 принято 3 чел., 24.03 уволилось 8 чел., 28.03 принято 2 чел. Определить среднюю численность работников за март месяц.

Задача 4.2. Поголовье коров в сельскохозяйственнойорганизации на 1.01 составляло 800 гол.,15.01 было выбраковано 30 гол., 5.02 переведено из нетелей в основное стадо 55 гол., 24.02 куплено 10 гол., 12.03 продано 15 гол., 21.03 выбраковано 25 гол. Определить среднее поголовье коров за первый квартал.

Задача 4.3. По данным приложенияВ о средней цене производителей на отдельные виды товаров за последние пять лет определить базисные и цепные показатели ряда динамики, показатели динамики в среднем за период. Расчеты представить в табличной форме. Сделать вывод.

Задача 4.4. Выявить общую тенденцию средней цены производителей на отдельные товары по данным приложенияВ, используя прием аналитического выравнивания.Фактические и выравненные (теоретические) уровни динамического ряда изобразить графически. Сделать вывод.

Задача 4.5. Используя взаимосвязь показателей, определить уровни ряда динамики и недостающие в таблице 4.6 базисные показатели динамики по имеющимся данным об урожайности озимой пшеницы.

Таблица 4.6 –Вспомогательная таблица для определения урожайности озимой

пшеницы и недостающих базисных показателей динамики

Задача 4.6. Используя взаимосвязь показателей, определить уровни ряда динамики и недостающие в таблице 4.7 цепные показатели динамики среднегодового удоя молока от одной коровы в Краснодарском крае.

Таблица 4.7 - Вспомогательная таблица для определения среднегодового

удоя молока и недостающих цепных показателей динамики

Задача4.7. До 2007 г. в состав производственного объединения входили 20 организаций. В 2007 г. в него влились еще 4 организации, и оно стало объединять 24 организации. Провести смыкание ряда динамики, используя данные таблицы 4.8. Сделать вывод.

Таблица 4.8 –Динамика объема реализации продукции объединения, млн. руб.

Вопросы для самоподготовки

1. Ряды динамики, их элементы, правила построения.Виды рядов динамики.

2. Показатели ряда динамики и порядок их расчета.

3. Приемы выявления основной тенденции развития в рядах динамики.

4. Что понимается под интерполяцией и экстраполяцией ряда динамики?

5. Как проводится смыкание рядов динамики?