Модели теории массового обслуживания. Марковские случайные процессы. Многоканальная система с отказами

Модели теории массового обслуживания

Теория массового обслуживания представляет собой область при­кладной математики, использующую методы теории случайных про­цессов и теории вероятностей для исследования различной природы сложных систем. Теория массового обслуживания непосредственно не связана с оптимизацией. Назначение ее состоит в том, чтобы на осно­ве результатов наблюдений за «входом» в систему предсказать ее воз­можности и организовать наилучшее обслуживание для конкретной ситуации и понять, как последнее отразится на стоимости системы в целом.

Модели теории массового обслуживания описывают процессы массового спроса на обслуживание с учетом случайного характера поступления требований и продолжитель­ности обслуживания.

Назначение моделей теории массового обслуживания состоит в том, чтобы на основе информации о входящем случайном потоке требова­ний предсказать возможности системы обслуживания, организовать наилучшее выполнение требований для конкретной ситуации и оце­нить, как это отразится на ее стоимости.

Система массового обслуживания (СМО) возникает тогда, когда происходит массовое появление заявок (требований) на обслуживание и их последующее удовлетворение.

Особенностью СМО является случайный характер исследуе­мых явлений. Типичный пример СМО - телефонная сеть (снятием трубки с рычага телефонного аппарата абонент дает заявку на обслуживание разговора по одной из линий телефонной сети).

Основными элементами СМО являются:

Входящий поток заявок (требований) на обслуживание;

Очередь заявок на обслуживание;

Приборы (каналы) обслуживания;

Выходящий поток обслуженных заявок (рисунок 8.5).

Такой элемент СМО как очередь может отсутствовать в не­которых системах, но в тоже время СМО может иметь и другие элементы, например, выходящий поток не обслуженных заявок.

Для систем, относящихся к системам массового обслуживания, существует определенный класс задач, решение которых позволяет от­ветить, например, на следующие вопросы:

Рисунок 8.5 - Обобщенная схема СМО

С какой ин­тенсивностью должно проходить обслуживание или должен выполнять­ся процесс при заданной интенсивности и других параметрах входящего потока требований, чтобы минимизировать очередь или задержку в подготовке документа или другого вида информации?

Каковы вероят­ность появления задержки или очереди и ее величина? Сколько време­ни требование находится в очереди и каким образом минимизировать его задержку?

Какова вероятность потери требования (клиента)?

Ка­кова должна быть оптимальная загрузка обслуживающих каналов? При каких параметрах системы достигаются минимальные потери прибы­ли?

К этому перечню можно добавить еще целый ряд задач.

Как системы массового обслуживания могут быть представ­лены следующие работы и процессы: посадка самолетов в аэро­порту, обслуживание автомобилей на автозаправочных станциях, разгрузка судов на причалах, обслуживание покупателей в ма­газинах, прием больных в поликлинике, обслуживание клиентов в ремонтной мастерской и др.

Часто входной поток заявок представляется в виде про­стейшего потока, обладающего свойством стационарности, от­сутствия последствия и ординарности.

Поток является стационарным, если вероятный режим не зависит от времени. Ординарность потока наступает, если ве­роятность появления двух и более заявок за промежуток вре­мени τ является бесконечно малой величиной по сравнению с τ. Поток обладает свойством отсутствия последствия, если поступление заявок не зависит от предистории процесса.

Для простейшего потока поступление заявок в СМО описы­вается законом распределения Пуассона

Р к (τ ) ,

где Р к (τ ) -вероятность поступления к заявок за время τ ;

λ - интенсивность входного потока.

Важное для исследования свойство, которым обладает пуассоновский поток, заключается в том, что процедура разделения и объединения дает снова пуассоновские потоки. Тогда, если входной по­ток формируется из N независимых источников, каждый из которых порождает пуассоновский поток интенсивностью λ i (i = 1, 2, ..., N), то его интенсивность будет определяться по формуле

λ = λ l + λ 2 +...+ λ N .

В случае разделения пуассоновского потока на N независимых по­токов получим, что интенсивность потока λ i будет равна r i λ ,где r i - доля i-го потока во входном потоке требований.

Очередью является множество заявок (требований), ожи­дающих обслуживание.

В зависимости от допустимости и характера формирования очереди системы массового обслуживания подразделяются:

1. СМО с отказами - формирование очереди не разрешено, поэтому заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ и теряется. Пример: АТС (выполнение заказов к определенному сроку), система ПВО объекта (цель в зоне об­стрела пребывает мало времени).

2. СМО с неограниченным ожиданием - поступившая заяв­ка, застав все обслуживающие приборы занятыми, становится в очередь и дожидается обслуживания. Число мест для ожидания (длина очереди) не ограничено. Не ограничивается и время ожидания. Пример: предприятия бытового обслуживания, такие как мастерские по ремонту часов, обуви.

3. СМО смешанного типа. В этих системах имеется очередь,
на которую накладываются ограничения. Например: на макси­мальную длину очереди (I тип – с ограниченной ДО) или на время ожидания заявки в очереди (П тип – с ограниченным ВО). Примерами СМО I-го типа являются мастер­ские по ремонту радиоаппаратуры с ограниченными площадями для ее хранения. Торговые точки по продаже фруктов, овощей, которые могут храниться ограниченное время, являются смешан­ными СМО II -го типа.

Порядок поступления заявок на обслужива­ние называется дисциплиной обслуживания.

В СМО с очередью могут быть следующие варианты дисцип­лины обслуживания:

а) в порядке поступления заявок (первым пришел – первым обслужился) - магазины, предприятия бытового обслуживания;

б) в порядке обратном поступлению, т. е. последняя заявка обслуживается первой (последним пришел - первым обслужился) - выемка заготовок из бункера;

в) в соответствии с приоритетом (участники ВОВ в поликлинике);

г) в случайном порядке (в системе ПВО объекта при отра­жении воздушного налета противника).

Основным параметром процесса обслужи­вания считается время обслуживания заявки каналом (обслуживающим прибором j) – t j (j=1,2,…,m).

Величина t j в каждом конкретном случае определяется рядом факторов: интенсивностью поступления заявок, квалификацией ис­полнителя, технологией работ, окружающей средой и т.д. Законы рас­пределения случайной величины t j могут быть самыми различными, но наибольшее распространение в практических приложениях полу­чил экспоненциальный закон распределения. Функция распределения случайной величины t j имеет вид:

F(t) = l – e - μt ,

где m - положительный параметр, определяющий интенсивность обслужи­вания требований;

где Е (t) - математическое ожидание случайной величины обслуживания тре­бования t j .

Важнейшее свойство экспоненциального распределения заключа­ется в следующем. При наличии нескольких однотипных каналов об­служивания и равной вероятности их выбора при поступлении заявки распределение времени обслуживания всеми m каналами будет пока­зательной функцией вида:

Если СМО состоит из неоднородных каналов, то , если
же все каналы однородные, то .

По количеству обслуживающих приборов (каналов) СМО де­лятся на:

Одноканальные;

Многоканальные.

Структура СМО и характерис­тика ее элементов приведены на рисунке 8.6.

Исследование СМО заключается в нахождении показателей, харак­теризующих качество и условия работы обслуживающей системы и показателей, отражающих экономические последствия принятых ре­шений.

Важнейшим понятием в анализе СМО является понятие сос­тояния системы. Состояние есть некоторое описание системы, на основании которого можно предсказать ее будущее поведение.

Рисунок 8.6 – Структура и характеристика элементов СМО

При анализе СМО определяют усредненные показатели об­служивания. В зависимости от решаемой задачи ими могут быть:

средняя длина очереди,

среднее время ожидания в очереди,

средний процент обслуживаемых (или получивших отказ) заявок, среднее число занятых (или простаивающих) каналов,

среднее время пребывания в СМО и др.

В качестве критерия оптимизации применяют:

Максимум прибыли от эксплуатации СМО;

Минимум суммарных потерь, связанных с простоем кана­лов, простоем заявок в очереди и уходом необслуженных за­явок;

Обеспечение заданной пропускной способности.

Варьируемыми параметрами обычно являются: количество каналов, их производительность, длина и дисциплина очереди, приоритетность обслуживания.

Вопросы для самопроверки

1. Понятие о математических моделях и моделировании.

2. Что представляет собой экономико-статистическая модель и производственная функция?

3. Применение графических и графоаналитических моделей в управлении.

4. Использование корреляционного анализа для выявления связи между параметрами

5. Виды и методы построения регрессионных моделей.

6. Статистическое исследование причинно-следственных связей.

7. Классификация математических моделей по четырем аспектам детализации (по В.А. Кардашу).

8. Классификация моделей по применяемому математическому аппарату. Понятие о балансовых моделях.

9. Этапы моделирования. Проверка модели на адекватность.

10. Понятие о системах массового обслуживания (СМО). Составные части СМО.

11. СМО с отказами и с очередью. Разновидности очередей.

12. Одноканальные и многоканальные СМО. Дисциплины обслуживания

13. Моделирование СМО. Показатели, получаемые при экспериментах на модели СМО.

14. Критерии оптимизации систем массового обслуживания.

1. Предмет и задачи В производственной деятельности и повседневной жизни часто возникают ситуации, когда появляется необходимость в обслуживании требований или заявок поступающих в систему. Часто встречаются ситуации, в которых необходимо пребывать в ситуации ожидания. Примерами тому может служить очередь покупателей у касс большого магазина, группа пассажирских самолетов, ожидающих разрешения на взлет в аэропорте, ряд вышедших из строя станков и механизмов, поставленных в очередь для починки в ремонтном цехе предприятия и т.д. Иногда системы обслуживания обладают ограниченными возможностями для удовлетворения спроса, и это приводит к образованию очередей. Как правило, ни время возникновения потребностей в обслуживании, ни продолжительность обслуживания заранее не известны. Избежать ситуации ожидания чаще всего не удается, но можно сократить время ожидания до какого-то терпимого предела.

Предметом теории массового обслуживания являются системы массового обслуживания (СМО).Задачами теории массового обслуживания являются анализ и исследование явлений, возникающих в системах обслуживания.Одна из основных задач теории заключается в определении таких характеристик системы, которые обеспечивают заданное качество функционирования, например, минимум времени ожидания, минимум средней длины очереди.Цель изучения режима функционирования обслуживающей системы в условиях, когда фактор случайности является существенным,контролировать некоторыеколичественные показатели функционирования системы массового обслуживания. Такими показателями, в частности являются среднее время пребывания клиента в очереди или доля времени, в течение которой обслуживающая система простаивает. При этом в первом случае мы оцениваем систему с позиции «клиента», тогда как во втором случае мы оцениваем степень загруженности обслуживающей системы. Путем варьирования операционными характеристиками обслуживающей системы может быть достигнут разумныйкомпромисс между требованиями «клиентов» и мощностью обслуживающей системы.

В качестве показателей СМО могут применяться также такие величины как среднее число заявок в очереди, вероятность того, что число заявок в очереди превысит какое-то значение и т.д.

Система - совокупность элементов, связей между ними и цели функционирования. Любой системе массового обслуживания характерна структура, которая определяется составом элементов и функциональными связями.

Основные элементы системы следующие:

1. Входящий поток требований (интенсивность входящего потока );

2. Каналы обслуживания (число каналов n , среднее число занятыхk , производительность );

3. Очередь требований (среднее число заявок z , среднее время пребывания одной заявкиt );

4. Выходящий поток требований (интенсивность входящего потока  ).

2. Классификация систем массового обслуживания По количеству каналов СМО подразделяют наодноканальные имногоканальные . По месту нахождения источников заявок системы массового обслуживания можно разделить на:

 закрытые – источник в системе и оказывает на нее влияние;

 открытые – вне системы и не оказывает влияния.

По фазам обслуживания СМО можно разделить на:

 однофазные – один этап обслуживания,

 многофазные – два и более этапов.

Системы массового обслуживания (СМО) по условиям ожидания делятся на два основных класса: СМО с отказами и СМО с ожиданием . В СМО с отказами заявка, поступающая в момент, когда все каналы заняты, получает отказ, покидает СМО и в дальнейшем процессе обслуживания не участвует (пример - звонок по телефону). В СМО с ожиданием заявка, пришедшая в момент, когда все каналы заняты, не уходит, а становится в очередь на обслуживание.

СМО с ожиданием подразделяются на разные виды в зависимости от того, как организована очередь: с ограниченной илинеограниченной длиной ожидания ,с ограниченным временем ожидания и т.д.

Для классификации СМО важное значение имеет дисциплина обслуживания, определяющая порядок выбора заявок из числа поступивших и порядок распределения их между свободными каналами.Дисциплина обслуживания – правила, по которым действуют СМО. По этому признаку обслуживание требования может быть организованно:

1. по принципу «первый пришел – первый обслужен»;

2. по принципу «первый пришел – последним обслужен» (например, отгрузка однородной продукции со склада).

3. случайно;

4. с приоритетом. При этом приоритет может быть абсолютным (более важная заявка вытесняет обычную) иотносительным (важная заявка получает лишь «лучшее» место в очереди).

При анализе случайных процессов с дискретным состояниями удобно пользоваться геометрической схемой – так называемымграфом состояний .

Пример . УстройствоS состоит из двух узлов,

каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя, после чего мгновенно начинается ремонт узла, продолжающийся заранее неизвестное случайное время. Возможные состояния системы: S 0 – оба узла исправны;S 1 – первый узел ремонтируется, второй исправен;S 2 – первый узел исправен, второй ремонтируется;S 3 – оба узла ремонтируются.

3. Входящий поток требований Общей особенностью всех задач, связанных с массовым обслуживанием, является случайный характер исследуемых явлений . Количество требований на обслуживание, временные интервалы между их поступлениями и длительность обслуживания случайны.Поэтому основным аппаратом описания систем обслуживания оказывается аппарат теории случайных процессов, в частности, марковских. Для исследования процессов, происходящих в этих системах, применяются методы имитационного моделирования.

Процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем. Это означает, что состояние СМО меняется скачком в случайные моменты появления каких-либо событий (появление новой заявки, приоритета обслуживания, окончания обслуживания).

Под случайным (стохастическим, вероятностным) процессом понимается процесс изменения во времени состояния какой-либо системы в соответствии с вероятностным законом. Заявки на обслуживание в СМО обычно поступают не регулярно (например, поток вызовов на телефонной станции, поток отказов компьютеров, поток покупателей и т.д.), образуя так называемыйпоток заявок (или требований).

Поток характеризуетсяинтенсивностью λ – частотой появления событий или средним числом событий, поступающих в СМО в единицу времени.

Поток событий называетсярегулярным , если события следуют одно за другим через определенные равные промежутки времени (поток изделий на конвейере сборочного цеха).

Поток событий называетсястационарным , если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности у стационарного потока λ(i )= λ (поток автомобилей на проспекте в часы пик).

Поток событий называетсяпотоком без последствий , если для любых два непересекающихся участков времени –τ 1 иτ 2 – число событий, попадающих на один из них, не зависит от числа событий, попадающих на другие(поток людей, входящих в метро или поток покупателей, отходящих от кассы).

Поток событийординарен , если события появляются в нем поодиночке, а не группами(поток поездов – ординарен, поток вагонов – нет).

Поток событий называетсяпростейшим , если он одновременно стационарен, ординарен и не имеет последствий.

Ординарный поток заявок без последствий описывается распределением (законом) Пуассона.

Простейший поток в теории массового обслуживания играет такую же роль, как и нормальный закон в теории вероятностей. Главная его особенность заключается в том, что при сложении нескольких независимых простейших потоков образуется суммарный поток, который также близок к простейшему.

Каждому событию соответствует момент t , в который это событие произошло. Т – интервал между двумя моментами времени. Поток событий – независимая последовательность моментов t .

Для простейшего потока с интенсивностью λ вероятность попадания на элементарный (малый) отрезок времени Δt хотя бы одного события потока равна.

Ординарный поток заявок без последствий описывается распределением (законом) Пуассона с параметром λτ :

, (1)

для которого математическое ожидание случайной величины равно ее дисперсии:
.

В частности, вероятность того, что за время τ не произойдет ни одного события (m =0), равна

. (2)

Пример. На автоматическую телефонную линию поступает простейший поток вызовов с интенсивностью λ =1,2 вызовов в минуту. Найти вероятность того, что за две минуты: а) не придет ни одного вызова; б) придет ровно один вызов; в) придет хотя бы один вызов.

Решение. а) Случайная величина Х – число вызовов за две минуты – распределена по закону Пуассона с параметром λτ =1,2·2=2,4. Вероятность того, что вызовов не будет (m =0), по формуле (2):

б) Вероятность одного вызова (m =1):

в) Вероятность хотя бы одного вызова:

4. Предельные вероятности состояний Если число состояний системы конечно и из каждого из них можно за конечное число шагов перейти в любое другое состояние, то предельные вероятности существуют.

Рассмотрим математическое описание Марковского процесса с дискретными состояниями и непрерывным временем на примере процесса, граф которого изображен на рис. 1. Будем полагать, что все переходы системы из состояния S i в S j происходят под воздействием простейших потоков событий с интенсивностями состояний λ ij (i , j =0,.1,2,3).

Так как переход системы из состояния S 0 в S 1 будет происходить под воздействием потока отказов первого узла, а обратный переход из состояния S 1 в S 0 – под воздействием потока и событий, связанных с окончанием ремонтов первого узла и т.д.

Граф состояний системы с проставленными у стрелок интенсивностями будем называтьразмеченным . Рассматриваемая система имеет четыре возможных состояния:S 0 ,S 1 ,S 2 ,S 3 . Назовем вероятностьюi -го состояния вероятностьp i (t ) того, что в моментt система будет находиться в состоянииS i . Очевидно, что для любого моментаt сумма вероятностей всех состояний равна единице:
.

Предельная вероятность состояния S i имеет – показывает среднее относительное время пребывания системы в этом состоянии(если предельная вероятность состояния S 0 , т.е. p 0 =0,5, то это означает, что в среднем половину времени система находится в состоянии S 0 ).

Для системыS с графом состояний, изображенном на рис. система линейных алгебраических уравнений, описывающих стационарный режим, имеет вид (также называется системойуравнений Колмогорова ):

(3)

Данная система может быть получена по размеченному графу состояний, руководствуясь правилом , согласнокоторому в левой части уравнений стоит предельная вероятность данного состояния p i , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выходящих из i -го состояния, равная сумме произведений интенсивности всех потоков, входящих из i -е состояние на вероятности тех состояний, из которых эти потоки исходят.

Пример . Найти предельные вероятности для системы, граф состояний которого изображен на рис. выше. при λ 01 =1, λ 02 =2, λ 10 =2, λ 13 =2, λ 20 =3, λ 23 =1, λ 31 =3, λ 32 =2 .

Система алгебраических уравнений для этого случая согласно (3) имеет вид:

Решив линейную систему уравнений, получим p 0 = 0,4, p 1 = 0,2, p 2 = 0,27, p 3 = 0,13; т.е. в предельном стационарном режиме система S в среднем 40% времени будет находиться в состоянии S 0 (оба узла исправны), 13% в состоянии S 1 (первый узел ремонтируется, второй работает), 27% - в состоянии S 2 (второй узел ремонтируется, первый работает) и 13% в состоянии S 3 (оба узла ремонтируются).

Определим чистый доход от эксплуатации в стационарном режиме рассмотренной системы S в условиях, что в единицу времени исправная работа узла один и узла два приносит доход соответственно 10 и 6 денежных единиц, а их ремонт требует соответственно затрат 4 и 2 денежных единицы. Оценим экономическую эффективность имеющейся возможности уменьшения вдвое среднего времени ремонта каждого из двух узлов, если при этом придется вдвое увеличить затраты на ремонт каждого узла (в единицу времени).

Для решения этой задачи с учетом полученных значений p 0 , p 1 , p 2 , p 3 определим долю времени исправной работы первого узла, т.е. p 0 + p 2 = 0,4+0,27 = 0,67 и долю времени исправной работы второго узла p 0 + p 1 = 0,4+0,2 = 0,6. В то же время первый узел находится в ремонте в среднем долю времени равную p 1 + p 3 = 0,2+0,13 = 0,33, а второй узел p 2 + p 3 = 0,27+0,13 = 0,40. Поэтому средний чистый доход в единицу времени от эксплуатации системы равен Д =0,67·10+0,6·6–0,33·4–0,4·2=8,18 ден.ед. уменьшение вдвое среднего времени ремонта каждого узла будет означать увеличение вдвое интенсивностей потока «окончания ремонтов» каждого узла, т.е. теперь λ 10 =4, λ 20 =6, λ 31 =6, λ 32 =4 и система уравнений, описывающая стационарный режим системы S , будет иметь вид:

.

Решив систему получим p 0 = 0,6, p 1 = 0,15, p 2 = 0,2, p 3 = 0,05. Учитывая, что p 0 + p 2 = 0,6+0,2 = 0,8,

p 0 + p 1 = 0,6+0,15 = 0,75, p 1 + p 3 = 0,15+0,05 = 0,2, p 2 + p 3 = 0,2+0,05 = 0,25, а затраты на ремонт первого и второго узла составляют соответственно 8 и 4 ден.ед., вычислим чистый средний доход в единицу времени: Д1 =0,8·10+0,75·6–0,2·8–0,25·4=9,99 ден.ед.

Так как Д1 больше Д (примерно на 20%), то экономическая целесообразность ускорения ремонта узлов очевидна.

5. Процесс размножения и гибели Рассматриваемый в СМО процесс размножения и гибели характеризуется тем, что если все состояния системы пронумероватьS 1 ,S 2 ,… ,S n то из состоянияS k (k < n ) можно попасть либо в состояниеS k -1 , либо в состояниеS k +1 .

Для предельных вероятностей характерна следующая система уравнений:

(4)

к которой добавляется условие:

Из этой системы можно найти предельные вероятности. Получим:

, (6)

,
, …,
. (7)

Пример. Процесс гибели и размножения представлен графом. (рис).

Найти предельные вероятности состояний.

Решение. По формуле (6) найдем
,

по (7)
,
,

т.е. в установившемся стационарном режиме в среднем 70,6% времени система будет находиться в состоянии S 0 , 17,6% – в состоянии S 1 и 11,8% – в состоянии S 2 .

6. Системы с отказами В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:

А – абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени,

Q – относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;

– вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;

– среднее число занятых каналов (для многоканальной системы).

С работой своеобразных систем, называемых системами массового обслуживания (СМО), приходится сталкиваться повседневно. Примерами таких СМО могут служить телефонные станции, ремонтные службы, билетные кассы, справочные бюро, магазины, аптеки, парикмахерские, т. е. любые системы, предназначенные для обслуживания (в том или ином смысле) некоторого потока заявок (или «требований»), поступающих в какие-то, вообще говоря, случайные моменты времени.

Каждая СМО состоит из некоторого числа обслуживающих единиц (или «приборов»), называемых каналами обслуживания. Каналами могут быть линии связи, лифты, продавцы, кассиры и т. д.

Время обслуживания потока заявки длится какой-то, как правило, случайный, промежуток времени, после чего канал освобождается и готов к приему следующей заявки. Случайный характер потока заявок и времен обслуживания приводит к тому, что в какие-то периоды времени на входе СМО создается очередь, в другие же периоды СМО будет работать с недогрузкой.

Таким образом, процесс работы СМО представляет собой случайный процесс с дискретными состояниями и непрерывным временем: состояние СМО меняется скачком в моменты появления прихода новой заявки или окончания обслуживания (клиент пришел - клиент ушел).

Предметом теории массового обслуживания (ТМО) является построение математических моделей, связывающих данные условия работы СМО (характер потока заявок, число каналов и их производительность, дисциплина обслуживания) с показателями эффективности СМО.

В качестве таких показателей могут использоваться разные характеристики: среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени; среднее число занятых каналов; вероятность отказа в обслуживании.

Рассмотрим следующий пример.

Пусть речь идет об аптеке, в которой работает несколько служащих (каналов обслуживания). Клиенты, обратившиеся за медикаментами, образуют поток требований. Представьте, что в аптеку забежал покупатель, готовый приобрести дорогое лекарство, но не располагающий

временем или желанием стоять в очереди. Надо уметь вычислять вероятность того, что он не будет обслужен - ведь если большинство клиентов уйдет без покупки, вряд ли стоит держать аптеку вообще. Полезно также знать степень загрузки каждого работника, это характеризует рентабельность аптеки. Поскольку число потенциальных клиентов и время обслуживания величины случайные, задача решается далеко не просто.

В примере условие ухода клиента, если его обслуживание не началось немедленно, выглядит несколько искусственным - большинство покупателей могут подождать. Однако если вместо аптеки рассматривать АТС (автоматическую телефонную станцию), а обслуживанием считать продолжительность телефонного разговора, то вышеупомянутое условие выполняется.

Если абстрагироваться от реального наполнения моделей СМО (мастерская, аптека, АТС, лифты в доме и т. д.), СМО можно описать, задавая следующие ее составляющие (рис. 9.1):

1.Входящий поток требований.

2.Дисциплину очереди.

3.Механизм обслуживания.

4.Выходящий поток требований.

Рис. 9.1. Модель теории массового обслуживания

В некоторых системах «очередь» отсутствует.

СМО делится на классы по ряду признаков, например СМО с отказами (как в телефонии) и СМО с очередью. На практике чаще встречаются и имеют большее значение СМО с очередью: недаром ТМО иногда называют «теория очередей». В СМО с очередью длина очереди и (или) время ожидания могут быть ограничены или не иметь ограничений; обслуживание может быть с приоритетом или без него, в порядке поступления или случайным.

Приоритет может быть абсолютным или относительным.

СМО могут быть открытыми и закрытыми. В первой - поток заявок не зависит от состояния самой СМО (сколько каналов занято), во

второй - зависит. Пример - наладка группы станков одним рабочим. Здесь интенсивность «требований» со стороны станков зависит от того, сколько их уже неисправно.

Классификация СМО не ограничивается приведенными разновидностями.

Возвращаясь к компонентам СМО, рассмотрим более подробно входящий поток требований, как одно из наиболее важных понятий ТМО.

Потоком требований называется совокупность заявок на обслуживание, поступающих в обслуживающую систему. Он может быть регулярным или стохастическим (т. е. случайным). В первом случае требования следуют друг за другом через равные промежутки времени, во втором случае моменты появления требований - случайные величины.

Важной характеристикой потока требований является его интенсивность - среднее число требований, поступающих в систему в единицу времени. Для регулярного потокав общем случае интенсив-

ность может быть как постоянной, так и зависящей от t. Например, поток машин ночью не так интенсивен, как днем.

Входящий поток называется стационарным, если вероятность поступления определенного количества требований в течение определенного промежутка времени зависит лишь от длины этого промежутка.

В частности интенсивностьстационарного потока должна быть постоянной, т. е. в среднем на интервалах равной длины должно быть одинаковое количество требований.

Свойством стационарности обладают многие реальные потоки требований, по крайней мере, на ограниченном участке времени (нагрузка на АТС меняется в течение суток, но не между, скажем, часом и двумя).

Поток требований называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков временичисло требова-

ний, поступивших в систему за, не зависит от того, сколько требований поступило за промежуток.

Другими словами, прошлое не влияет на настоящее! По сути, это означает, что требования, образующие поток, появляются в те или иные моменты времени независимо друг от друга (как, например, поток пассажиров, входящих в метро).

Пусть случайная величинаобозначает число требований на интервале .

Поток называется ординарным, если

Заметим, что

где

В ординарном потоке появление двух и более требований за малый промежуток времени практически невозможно. Поток клиентов в аптеку обычно ординарен.

Поток требований называется простейшим, если он стационарен, ординарен и не имеет последействия. Потоки такого типа часто встречаются на практике. Термин «простейший» связан с простым математическим описанием этих потоков.

Можно показать, что для простейшего потока число требований в промежутке времени длиной t распределено по закону Пуассона с параметром(см. п. 7.2.1), т. е.

Стационарность и отсутствие последействия налицо, ординарность (т. е. условие (9.1)) вытекает из равенства

которое можно проверить по правилу Лопиталя.

Параметр X здесь характеризует интенсивность потока. Действительно,

Простейший поток еще называют стационарным пуассоновским.

Пример 1. Рассмотрим наладку станков одним рабочим. Предполагается, что все станки находятся приблизительно в одинаковом состоянии (последнее обеспечивает стационарность потока поломок). Вероятность поломки одного станка невелика (двух, трех и т. д. - тем более) - отсюда следует ординарность. Кроме того, если станков много, а среднее время ремонта мало, то можно считать, что поток поломок не имеет последействия. Другими словами, он является простейшим.

Решение. Пусть интенсивностьполомки/ч. По формуле (9.2)

прии t =1 найдем вероятность k поломок в течение часа

Составим табл. 9.1. Таблица 9.1

k

....

p k (1)

0,05

0,15

0,22

0,22

0,17

0,05

....

Следующее важное понятие ТМО - это время обслуживания.

Оно является характеристикой функционирования каждого отдельного канала обслуживающей системы и отражает его пропускную способность. Время обслуживания - случайная величина.

Для простоты будем рассматривать систему, состоящую из однотипных обслуживающих аппаратов, имеющих общий закон распределения. При этом будем предполагать, что этот закон распределения - показательный, с функцией распределения времени обслуживания (см. формулу (7.19))

Параметр(аналогично параметрувходящего потока) определяет интенсивность обслуживания; величина является средним временем обслуживания t одной заявки:

Показательный закон имеет большое значение как в теоретических исследованиях, так и во многих приложениях. Важнейшим его свойством является то, что при таком законе распределения времени обслуживания оставшееся время обслуживания не зависит от того, сколько времени обслуживание уже длилось.

Далее коротко опишем я-канальную систему массового обслуживания с отказами. Это «классическая» задача ТМО, возникшая из практических нужд телефонии и решенная в начале ХХ века датским математиком Эрлангом. Задача ставится так.

Имеется я каналов, на которые поступает простейший поток заявок с интенсивностью X. Если в момент поступления очередного требования имеется хотя бы один свободный аппарат, то любой из аппаратов немед-

ленно приступает к обслуживанию. В противном случае заявка получает отказ и покидает систему.

Все каналы работают независимо друг от друга и от входящего потока.

Время обслуживания каждого требования распределено по показательному закону (см. (9.3)) с параметром(т. е. среднее время обслуживания). Требуется найти характеристики эффективности работы СМО в стационарном (установившемся) режиме, т. е. при неограниченно возрастающем времени ее работы. Конкретнее нас интересуют:

. А - абсолютная пропускная способность, т. е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;

Относительная пропускная способность, или средняя доля пришедших заявок, обслуживаемых системой;

. Р отк - вероятность отказа, или того, что заявка покинет СМО необслуженной;

Среднее число занятых каналов;

. - вероятность того, что занято ровно k каналов, и, в частности, Р 0 - вероятность простоя системы;

. - коэффициент занятости каналов в процентах (%);

.
- коэффициент простоя каналов

в процентах (%). Обозначим

Величина а обычно называется «приведенной интенсивностью потока заявок» и ее смысл - среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Пользуясь этим обозначением, можно показать, что вероятность Р 0 того, что все я каналов СМО свободны, выражается формулой:

а вероятностиприимеют вид

Формулы (9.6), (9.7) для вероятностей Р к называются формулами Эрланга - в честь основателя ТМО. С их помощью можно вычислить остальные интересующие нас характеристики СМО. Так, вероятность Действительно, для того чтобы пришедшая заявка получила отказ, необходимо, чтобы все я каналов были заняты. Итак,

Отсюда находим относительную пропускную способность, т. е. вероятность, что заявка будет обслужена:

Абсолютную пропускную способность получим, умножая интенсивность потока заявок на Q:

Среднее число занятых каналовпо определению математического ожидания с учетом формул (9.6) и (9.7) равно

Отметим, что, зная вероятность отказав обслуживании

системы с я каналами обслуживания (см. (9.8)), аналогичную вероятность для системыканалом можно вычислить, пользуясь несложно проверяемыми равенствами

Приведем два примера, использующих рассмотренную теорию. Пример 2. Пусть имеется АТС с пятью линиями связи. Поток вызовов, поступающий на АТС, предполагается простейшим с интенсивностьювызова в минуту, а время разговора - распределенным по показательному закону со средним временем разговора= 2 мин. Предполагается также, что требование получает отказ, если в момент его поступления все 5 линий заняты. Требуется вычислить основные характеристики эффективности СМО в установившемся режиме.

Отсюда заключаем, что на АТС в среднем занято 2 линии из 5, каждая линия загружена всего на 39 %, теряется приблизительно 4 вызова из 100. Таким образом, АТС работает не слишком эффективно, и вполне можно сократить общее число линий и (или) увеличить интенсивность потока заявок.

Пример 3. Следующий пример возвращает нас к задаче об эффективности работы аптеки. Пусть имеется аптека с обслуживающим персоналом из 3 человек. Статистическое обследование показало, что среднее число клиентов, обращающихся в аптеку в течение часа, равно 24, а среднее время обслуживания каждого клиента занимает 5 мин. Выясним, какова вероятность, что вас не обслужат (предполагается, что если все окошки заняты, то клиент уходит) и насколько продавцы загружены работой.

Решение. Будем предполагать, что клиенты образуют простейший поток (если аптека расположена на бойком месте, это можно эвристически обосновать), и воспользуемся формулами Эрланга для решения.

Казалось бы, одного продавца можно и даже нужно сократить. Проведенные расчеты, однако, этого не подтверждают. Действительно, пользуясь формулой (9.12), найдем

Таким образом, загрузка каждого из двух оставшихся продавцов немного вырастет (с 0,53 до 1/2 . 1,2 = 0,6 рабочего дня), зато «коэффициент полезного действия» аптеки упадет с 0,79 до 0,6, поскольку в сложившейся ситуации будет обслужено лишь 60 % ((1 - 0,4) . 100 %) потенциальных клиентов, а не 79 % как ранее при трех продавцах.

Задача 1. На диспетчерский пульт поступает поток заявок, который является потоком Эрланга второго порядка. Интенсивность потока заявок равна 6 заявок в час. Если диспетчер в случайный момент оставляет пульт, то при первой же очередной заявке он обязан вернуться к пульту. Найти плотность распределения времени ожидания очередной заявки и построить ее график. Вычислить вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 10 до 20 минут. Решение . Поскольку поток Эрланга второго порядка является стационарным потоком с ограниченным последействием, то для него справедлива формула Пальма

где f1(θ)- плотность распределения вероятностей для времени ожидания первого ближайшего события;
λ - интенсивность потока;
- порядок потока;
(θ) - функция распределения вероятностей для времени между двумя соседними событиями потока Эрланга - го порядка (Э).
Известно, что функция распределения для потока Э имеет вид

. (2)

По условиям задачи поток заявок является Эрланговским порядка =2. Тогда из (1) и (2) получим
.
Из последнего соотношения при λ=6 будем иметь

f1(θ)=3е-6θ(1+6 θ), θ≥0. (3)

Построим график функции f1(θ) . При θ <0 имеем f1(θ) =0 . При θ =0 , f1(0)=3 . Рассмотрим предел

При вычислении предела для раскрытия неопределенности типа использовано правило Лопиталя . По результатам исследований строим график функции f1(θ) (Рис. 1).

Обратим внимание на размерности времени в тексте задачи: для интенсивности это заявки в час, для времени-минуты. Перейдем к одним единицам времени: 10 мин=1/6 час, 20 мин=1/3 час. Для этих значений можно вычислить f1(θ) и уточнить характер кривой

Эти ординаты указаны на графике над соответствующими точками кривой.
Из курса теории вероятностей известно, что вероятность попадания случайной величины Х в отрезок [α, β] численно равна площади под кривой плотности распределения вероятностей f(х) . Эта площадь выражается определенным интегралом

Следовательно, искомая вероятность равна

Этот интеграл легко вычисляется по частям, если положить
U=1+6θ и dV=е-6θ dθ . Тогда dU=6 dθ и V= .
Используя формулу получим

Ответ: вероятность того, что диспетчер сможет отсутствовать от 10 до 20 минут равна 0,28.

Задача 2. Дисплейный зал имеет 5 дисплеев. Поток пользователей простейший. Среднее число пользователей, посещающих дисплейный зал за сутки, равно 140. Время обработки информации одним пользователем на одном дисплее распределено по показательному закону и составляет в среднем 40 минут. Определить, существует ли стационарный режим работы зала; вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми; среднее число пользователей в дисплейном зале; среднее число пользователей в очереди; среднее время ожидания свободного дисплея; среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале. Решение. Рассматриваемая в задаче СМО относится к классу многоканальных систем с неограниченной очередью. Число каналов =5. Найдем λ-интенсивность потока заявок: где (час.) - среднее время между двумя последовательными заявками входящего потока пользователей. Тогда польз./час.

Найдем -интенсивность потока обслуживания: , где М[Т обсл.]=40 мин=0,67 часа - среднее время обслуживания одного пользователя одним дисплеем,

тогда польз/час.

Таким образом, классификатор данной системы имеет вид СМО (5, ∞; 5,85; 1,49).
Вычислим коэффициент загрузки СМО . Известно, что для СМО такого класса стационарный режим существует, если отношение коэффициента загрузки системы к числу каналов меньше единицы. Находим это отношение
.
Следовательно, стационарный режим существует. Предельное распределение вероятностей состояний вычисляется по формулам

Поскольку =5, имеем

Вычислим Р*- вероятность того, что пользователь застанет все дисплеи занятыми. Очевидно, она равна сумме вероятностей таких событий: все дисплеи заняты, очереди нет (р5); все дисплеи заняты, один пользователь в очереди (р6); все дисплеи заняты, два пользователя в очереди (р7) и так далее. Поскольку для полной группы событий сумма вероятностей этих событий равна единице, то справедливо равенство

Р*=р5+р6+р7+…=1 - ро - р1 - р2 - р3 - р4.

Найдем эти вероятности: ро =0,014; р1 =3,93*0,014; р2 =7,72*0,014; р3 =10,12*0,014; р4 =9,94*0,014.
Вынося за скобки общий множитель, получим
Р*=1-0,0148*(1+3,93+7,72+10,12+9,94)=1-0,014*32,71=1-0,46=0,54.
Используя формулы для вычисления показателей эффективности? найдем:

• 1. среднее число пользователей в очереди

2. среднее число пользователей в дисплейном зале

3. среднее время ожидания свободного дисплея

4. среднее время пребывания пользователя в дисплейном зале

Ответ: стационарный режим работы дисплейного зала существует и характеризуется следующими показателями Р* =0,54; пользователя; пользователя; ; .

Рис. 3

Из временных диаграмм видно, что необходимо научиться моделировать интервалы Т i . Применим метод обратных функций. Поскольку случайная величина Тi распределена по показательному закону с параметром λ =5, то плотность распределения имеет вид f (τ)=5е-5τ . Тогда значение F(Ti) функции распределения вероятностей определяется интегралом

.

Известно, что область значений функции распределения F (T ) есть отрезок . Выбираем из таблицы случайных чисел число и определяем Т i из равенства , откуда . Однако, если . Поэтому можно сразу получать из таблицы случайных чисел реализации . Следовательно,
е-5Т i = ri , или –5Т i = lnri , откуда . Результаты вычислений удобно заносить в таблицу.
Для проведения испытания №1 были взяты случайные числа из приложения 2, начиная с первого числа первой строки. Далее выборка осуществлялась по строкам. Проведем еще два испытания.
Обратите внимание на выборку случайных чисел из таблицы приложения 2, если в испытании №1 последнее случайное число для заявки №16 было 0,37 (первое случайное число во второй строке), то испытание №2 начинается со следующего за ним случайного числа 0,54. Испытание №2 содержит последним случайное число 0,53 (пятое число в третьей строке). Следовательно, третье испытание начнется с числа 0,19. Вообще в пределах одной серии испытаний случайные числа из таблицы выбираются без пропусков и вставок по определенному порядку, например, по строкам.

Таблица 1. ИСПЫТАНИЕ №1

Таким образом, по результатам трех испытаний число обслуженных заявок составило соответственно: х1 =9, х2 =9, х3 =8. Найдем среднее число обслуженных заявок:

Ответ: среднее число заявок, обслуженных СМО за 4 минуты, равно 8,6(6).

4 – Основы теории массового обслуживания.

Определение 1. Пусть имеется некоторая физическая система S , которая с течением времени меняет свое состояние (переходит из одного состояния в другое), причем заранее неизвестным, случайным образом. Тогда мы будем говорить, что в системе S протекает случайный процесс.

Под «физической системой» можно понимать что угодно: техническое устройство, предприятие, живой организм и т.д.

Пример. S – техническое устройство, состоящее из ряда узлов, которые время от времени выходят из строя, заменяются или восстанавливаются. Процесс, протекающий в системе, – случайный. Вообще, если подумать, труднее привести пример «неслучайного» процесса, чем случайного. Даже процесс хода часов – классический пример точной, строго выверенной работы («работают как часы») подвержен случайным изменениям (уход вперед, отставание, остановка).

Определение 2. Случайный процесс, протекающий в системе, называется марковским, если для любого момента времени t 0 вероятностные характеристики процесса в будущем зависят только от его состояния в данный момент t 0 и не зависят от того, когда и как система пришла в это состояние.

Пусть в настоящий момент t 0 система находится в определенном состоянии S 0 . Мы наблюдаем процесс со стороны и в момент t 0 знаем состояние системы S 0 и всю предысторию процесса, все, что было при t < t 0 . Нас, естественно. Интересует будущее: t > t 0 . Можем ли мы его предугадать? В точности – нет. Наш процесс случайный, следовательно – непредсказуемый. Но какие-то вероятностные характеристики процесса в будущем мы найти можем. Например, вероятность того, что через некоторое время t система S окажется в состоянии S 1 или сохранит состояние S 0 и т.д.

Если процесс марковский, то предсказывать можно, только учитывая настоящее состояние системы S 0 и забыв о его «предыстории» (поведение системы при t < t 0 ). Само состояние S 0 , разумеется, зависит от прошлого, но как только оно достигнуто, о прошлом можно забыть. Т.е. в марковском процессе «будущее зависит от прошлого только через настоящее» .

Пример. Система S – счетчик Гейгера, на который время от времени попадают космические частицы; состояние системы в момент времени t характеризуется показаниями счетчика – числом частиц, пришедших до данного момента. Пусть в момент t 0 счетчик показывает S 0 . Вероятность того, что в в момент t > t 0 счетчик покажет то или другое число частиц S 1 (или менее S 1 ) зависит от S 0 , но не зависит от того, в какие именно моменты приходили частицы до момента t 0 .

На практике часто встречаются процессы, которые если не в точности марковские, то могут быть в каком-то приближении рассмотрены как марковские. Например, S ­ – группа самолетов, участвующих в воздушном бою. Состояние системы характеризуется числом самолетов «красных» – x и «синих» – y , сохранившихся (не сбитых) к какому-то моменту. В момент t 0 нам известны численности сторон x 0 и y 0 . Нас интересует вероятность того, что в какой-то момент времени t 0 + t численный перевес будет на стороне «красных». От чего зависит эта вероятность? В первую очередь от того, в каком состоянии находится система в данный момент времени t 0 , а не от того, когда и в какой последовательности погибали сбитые до момента времени t 0 самолеты.

В сущности любой процесс можно рассматривать как марковский, если все параметры из «прошлого», от которых зависит «будущее», перенести в «настоящее». Например, пусть речь идет о работе какого-то технического устройства; в какой-то момент времени t 0 оно ещё исправно, и нас интересует вероятность того, что оно проработает ещё время t . Если за настоящее время считать просто «система исправна», то процесс безусловно не марковский, потому что вероятность, что она не откажет за время t , зависит, в общем случае, от того, сколько времени она уже проработала и когда был последний ремонт. Если оба эти параметра (общее время работы и время после ремонта) включить в настоящее состояние системы. То процесс можно будет считать марковским.

Определение 3. Процесс называется с дискретными состояниями, если его возможные состояния S 1 , S 2 ,... можно заранее перечислить (перенумеровать), и переход системы из состояния в состояние происходит «скачком», практически мгновенно.

Определение 4. Процесс называется процессом с непрерывным временем, если моменты возможных переходов из состояния в состояние не фиксированы заранее, а неопределенны, случайны, если переход может осуществиться, в принципе, в любой момент.

Мы будем рассматривать только процессы с дискретными состояниями.

Пример. Техническое устройство S состоит из двух узлов. Каждый из которых в случайный момент времени может выйти из строя (отказать), после чего мгновенно начинается ремонт узла, тоже продолжающийся заранее неизвестное, случайное время.

Возможные состояния системы:

S 0 – оба узла исправны;

S 1 – первый узел ремонтируется, второй исправен;

S 2 – второй узел ремонтируется, первый исправен;

S 3 – оба узла ремонтируются.

Стрелка, направленная из S 0 в S 1 означает момент отказа первого узла и т. д. На рисунке нет стрелки из состояния S 0 в состояние S 3 , поскольку вероятность того, что два прибора откажут одновременно, стремится к нулю.

Определение 5. Потоком событий называется последовательность однородных событий, следующих одно за другим в какие-то случайные моменты времени (например, поток сбоев на ЭВМ, поток вызовов на телефонной станции).

Важнейшей характеристикой потока событий является его интенсивность l – среднее число событий, приходящееся на единицу времени. интенсивность потока может быть постоянной (l = const ), так и переменной, зависящей от времени. Например, поток автомашин, движущихся по улице, днем интенсивнее, чем ночью, а поток автомашин с 14-ти до 15-ти часов дня можно считать постоянным.

Определение 6. Поток событий называется регулярным, если события следуют одно за другим через определенные, равные промежутки времени.

Определение 7. Поток событий называется стационарным, если его вероятностные характеристики не зависят от времени. В частности, интенсивность l стационарного потока должна быть постоянной. Это отнюдь не означает, что фактическое число событий, появляющееся в единицу времени, постоянно, – нет, поток неизбежно (если только он не регулярный) имеет какие-то случайные сгущения и разрежения. Важно, что для стационарного потока эти сгущения и разрежения не носят закономерного характера: на один участок длины 1 может попасть больше, а на другой – меньше событий, но среднее число событий, приходящееся на единицу времени, постоянно и от времени не зависит.

Например, поток вызовов, поступающих на АТС между 13 и 14 часами. Практически стационарен, но тот же поток в течение суток уже не стационарен.

Определение 8. Поток событий называется потоком без последействия, если для любых двух непересекающихся участков времени t 1 и t 2 число событий, попадающих на один из них, не зависит от того, сколько событий попало на другой. По сути это означает, что события, образующие поток, появляются в те или другие моменты независимо друг от друга, вызванные каждое своими собственными причинами.

Например, поток пассажиров, входящих в метро, практически не имеет последействия. А вот поток покупателей, отходящих от прилавка с купленными товарами, уже имеет последействие (хотя бы потому, что интервал времени между отдельными покупателями не может быть меньше, чем минимальное время обслуживания каждого из них).

Определение 9. Поток событий называется ординарным, если события в нем появляются поодиночке, а не группами сразу.

Например поток клиентов к зубному врачу – обычно ординарный. Поток поездов, подходящих к станции – ординарен, а поток вагонов – неординарен.

Определение 10. Поток событий называется простейшим (или стационарным Пуассоновским), если он обладает сразу тремя свойствами: стационарен, ординарен и не имеет последействия, а сам входной поток распределен по закону Пуассона ().

Для описания случайного процесса, протекающего в системе с дискретными состояниями S 1 , S 2 , ..., S n часто пользуются вероятностями состояний p 1 ( t ),..., p n ( t ) , где p k ( t ) – вероятность того, что в момент времени t система находится в состоянии S k . Вероятности p k ( t ) удовлетворяют условию: .

Если процесс, протекающий в системе с дискретными состояниями и непрерывным временем является марковским, то для вероятностей состояний p 1 ( t ), ..., p n ( t ) можно составить систему линейных дифференциальных уравнений. При составлении этих уравнений удобно пользоваться графом состояний системы, на котором против каждой стрелки, ведущей из состояния в состояние, проставлена интенсивность потока событий, переводящего систему по стрелке (рис.4.2):

Начальные условия для интегрирования такой системы отражают состояние системы в начальный момент времени. Если, например, система при t =0 была в состоянии S k , то . Эти уравнения можно решать аналитически, но это удобно только тогда, когда число уравнений не превышает двух (иногда трех). В случае, когда уравнений оказывается больше, применяют численные методы.

Что будет происходить с вероятностями состояний при ? Будут ли p 1 ( t ), ..., p n ( t ) стремиться к каким-то пределам? Если эти пределы существуют и не зависят от начального состояния системы, то они называются финальными вероятностями состояний: . p i – среднее относительное время пребывания системы в i -ом состоянии.

Как найти финальные вероятности? Поскольку все p i = const , то производные, стоящие в левой части каждого уравнения равны нулю. Т.о. мы получили систему линейных алгебраических уравнений. Поскольку ни одно уравнение в этой системе не имеет свободного члена, то система является вырожденной (т.е. все переменные будут выражены через одну). Чтобы этот избежать, необходимо воспользоваться нормировочным условием (), при этом любое уравнение можно отбросить.

Классификация систем массового обслуживания

По количеству обслуживающих приборов СМО делятся на одноканальные и многоканальные. Многоканальные СМО состоят из нескольких приборов, и каждый них может обслуживать заявку.

Также СМО подразделяются на системы без ожидания и с ожиданием. В первых заявка покидает очередь, если к моменту её прихода отсутствует хотя бы один канал, способный немедленно приступить к обслуживанию данной заявки. Вторые, в свою очередь, делятся на системы без ограничения и с ограничениями по длине очереди.

Также СМО делятся на системы с приоритетами и без них. В свою очередь системы с приоритетом делятся на СМО с прерыванием и без.

Одноканальная СМО с неограниченной очередью

Рис.4.3

Найдем вероятности p k :

Для состояния S 0 : , отсюда ;

Для состояния S 1 n : , подставляем полученное значение для p 1 : . Аналогично, .

Вероятность p 0 найдем из нормировочного условия :

, – геометрическая прогрессия, при r <1 сходится. – вероятность того, что нет заявок.

– вероятность того, что прибор занят обслуживанием заявки. r = l / m – мера загрузки одноканальной СМО.

В текущий момент времени в системе может быть 0, 1, 2, ..., k , ... заявок с вероятностями p 0 , p 1 p 2 , ... Математическое ожидание количества заявок:

учитывая, что , получим:

Средняя длина очереди равна разности между средним числом заявок в системе и средним числом заявок, находящихся под обслуживанием: .

Формулы Литтла

Первая формула Литтла позволяет определить время реакции СМО (время пребывания заявки в системе).

Пусть X ( t ) – число заявок, поступивших в СМО до момента времени t , Y ( t ) – покинувших СМО до t . Обе функции случайны и увеличиваются скачком на единицу в моменты прихода и ухода заявок. Тогда число заявок в системе в момент времени t можно определить как: . Рассмотрим очень большой промежуток времени T и вычислим среднее число заявок в системе:

.

Интеграл равен площади ступенчатой фигуры, ограниченной функциями X ( t ) и Y ( t ) , эта сумма состоит из прямоугольников, ширина которых равна единице, а длина – времени пребывания i -ой заявки в системе. Сумма распространяется на все заявки, поступившие в систему за время T . Правую часть домножим и разделим на l : . T l – среднее количество заявок, пришедших за время T . Поделив сумму всех времен t i на среднее число заявок, получим среднее время пребывания заявки в системе: .

Совершенно аналогично можно получить среднее время пребывания заявки в очереди: .

Многоканальная СМО с неограниченной очередью

Рис.4.5

Найдем вероятности p k :

Для состояния S 0 : ;

Для состояний S 1 – S n : ;

Для S n +1 : ; ...

Для S n+s-1 : ;

Для S n+s : .

Из первых n +1 уравнений получаем:

Из последнего уравнения выражаем: и подставляем в предпоследнее: , . Тогда .

Продолжая аналогию: .

Теперь найдем p 0 , подставив полученные выражения в нормировочное условие (): . Отсюда .

Показатели эффективности СМО

– Вероятность потери требования в СМО. Особенно часто ею пользуются при исследовании военных вопросов. Например, при оценке эффективности противовоздушной обороны объекта она характеризует вероятность прорыва воздушных целей к объекту. Применительно к СМО с потерями она равна вероятности занятости обслуживанием требований всех n приборов системы. Чаще всего эту вероятность обозначают p n или p отк .

– Вероятность того, что обслуживанием требований в системе занято k приборов, равна p k .

– Среднее число занятых приборов: характеризует степень загрузки обслуживающей системы.

– Среднее число свободных от обслуживания приборов:.

– Коэффициент простоя приборов: .

– Коэффициент занятости оборудования: .

– Средняя длина очереди: , p k - вероятность того, что в системе находится k требований.

– Среднее число заявок, находящихся в сфере обслуживания: .

– Вероятность того, что число заявок в очереди, ожидающих начала обслуживания, больше некоторого числа m : . Этот показатель особенно необходим при оценке возможностей размещения требований при ограниченности времени для ожидания.

Кроме перечисленных критериев при оценке эффективности СМО могут быть использованы стоимостные показатели:

q об – стоимость обслуживания каждого требования в системе;

q ож – стоимость потерь, связанных с простаиванием заявок в очереди в единицу времени;

q у – убытки, связанные с уходом из системы заявки;

q k – стоимость эксплуатации каждого прибора в единицу времени;

q k пр – стоимость простоя единицы времени k -го прибора системы.

При выборе оптимальных параметров СМО по экономическим показателям можно использовать функцию стоимости потерь в системе (для СМО с ожиданием): T – интервал времени.

Для СМО с отказами: .

Для смешанных: .

Критерий экономической эффективности СМО: , с – экономический эффект, получаемый при обслуживании каждой заявки.

СМО замкнутого типа

Пример. С1, С2, С3 – станки; НЦ – центральный накопитель; B – манипулятор. Транспортная тележка (манипулятор) транспортирует отработанную деталь от станка к накопителю и укладывает ее там, забирает новую деталь (заготовку), транспортирует ее к станку и устанавливает в рабочую позицию для зажима. Во время всего периода, необходимого для выгрузки–загрузки, станок простаивает. Время T з смены заготовки и есть время обслуживания.

Интенсивность обслуживания станков определяется как , – среднее время обслуживания станка, которое вычисляется как , где n – число заявок. Интенсивность подачи станком заявки на обслуживание определяется как (где – среднеее время обработки детали станком).

Станочная система с однозахватным манипулятором представляет собой СМО с ожиданием с внутренней организацией FIFO : каждая заявка станка на обслуживание удовлетворяется, в случае когда манипулятор занят, заявка становится в очередь и станок ожидает когда манипулятор освободится. Данный процесс марковский, т.е. случайная выдача заявки на обслуживание в определенный момент времени t 0 не зависит от предыдущих заявок, т.е. от течения процесса в предшествующий период. Продолжительность исполнения заявки может быть различной и является случайной величиной, не зависящей от числа поданных заявок. Весь процесс не зависит от того, что произошло ранее момента времени t 0 .

В станочной системе число заявок на обслуживание может быть равно 0, 1, 2, ... m , где m – общее число станков. Тогда возможны следующие состояния:

S 0 – все станки работают, манипулятор стоит.

S 1 – все станки, кроме одного, работают, манипулятор обслуживает станок, от которого поступила заявка на смену заготовок.

S 2 – работают m -2 станка, на одном станке идет смена заготовки, другой ожидает.

S 3 – работают m -2 станка, один станок обслуживается манипулятором, два станка ожидают в очереди.

S m – все станки стоят, один обслуживается манипулятором, остальные ожидают очереди исполнения заказа.

Рис.4.6.

Вероятность перехода в состояние S k из одного из возможных состояний S 1 , S 2 , ... S m зависит от случайного поступления заявок на обслуживание и вычисляется как:

p 0 – вероятность того, что все станки работают.

Манипулятор работает при состояниях системы от S 1 до S m ­ . Тогда вероятность его загрузки равна: .

Число станков, находящихся в очереди связано с состояниями S 2 , – S m , при этом один станок обслуживается, а (k -1) – ожидают. Тогда, среднее число станков в очереди: .

Коэффициент простоя одного станка (из-за ожидания при многостаночном обслуживании): .

Среднее использование одного станка:

Применение метода Монте-Карло для решения задач,

связанных с теорией массового обслуживания

Для того, чтобы описать поток однородных событий, достаточно знать закон распределения моментов времени t 1 , t 2 , ..., t k , ..., в которые поступают события.

Для удобства дальнейших рассмотрений целесообразно от величин t 1 , t 2 , ..., перейти к случайным величинам z 1 , z 2 , ..., z m , ... , таким образом, что:

Случайные величины z k являются длинами интервалов времени между последовательными моментами t k .

Совокупность случайных величин z i считается заданной, если определена совместная функция распределения: . Обычно рассматриваются только непрерывные случайные величины z k , поэтому часто пользуются соответствующей функцией плотности f ( z 1 , z 2 ,..., z k ) .

Обычно в теории СМО рассматриваются потоки однородных событий без последействия, для которых случайные величины z k независимы. Поэтому . Функции f i ( z i ) при i >1 представляют собой условные функции плотности при условии, что в начальный момент интервала z k ( i >1) поступила заявка. В отличие от этого функция f 1 ( z 1 ) является безусловной функцией плотности, т.к. относительно появления или непоявления заявки в начальный момент времени не делается никаких предположений.

Широкое применение имеют так называемые стационарные потоки, для которых вероятностный режим их во времени не изменяется (т.е. вероятность появления k заявок за промежуток времени (t 0 , t 0 + t ) не зависит от t 0 , а зависит только от t и k ). Для стационарных потоков без последействия имеют место соотношения:

где l – плотность стационарного потока.

Поступившая в систему заявка может занимать только свободные линии. Относительно порядка занятия линий могут быть сделаны различные предположения:

а) линии занимаются в порядке их номеров. Линия с большим номером не может быть привлечена к обслуживанию заявки, если имеется свободная линии с меньшим номером;

б) линии занимаются в порядке очереди. Освободившаяся линия поступает в очередь и не начинает обслуживания заявок до израсходования всех ранее освободившихся линий;

в) линии занимаются в случайном порядке в соответствии с заданными вероятностями. Если в момент поступления очередной заявки имеется n св свободных линий, то в простейшем случае вероятность занять некоторую определенную линию может быть принята равной . В более сложных случаях вероятности считаются зависящими от номеров линий, моментов их освобождения и других параметров.

Аналогичные предположения можно сделать и относительно порядка принятия заявок к обслуживанию в том случае, когда в системе образуется очередь заявок:

а) заявки принимаются к обслуживанию в порядке очереди. Освободившаяся линия приступает к обслуживанию той заявки, которая ранее другой поступила в систему;

б) заявки принимаются к обслуживанию по минимальному времени получения отказа. Освободившаяся линия приступает к обслуживанию той заявки, которая в кратчайшее время может получить отказ;

в) заявки принимаются к обслуживанию в случайном порядке в соответствии с заданными вероятностями. Если в момент освобождения линии имеется m заявок в очереди, то в простейшем случае вероятность выбрать для обслуживания некоторую определенную заявку может быть принята равной q =1/ m . В более сложных случаях вероятности q 1 , q 2 ,..., q m считаются зависящими от времени пребывания заявки в системе, времени, остающегося до получения отказа и других параметров.

· Для решения ряда прикладных задач оказывается необходимым учитывать такой важный фактор, как надежность элементов обслуживающей системы. Будем предполагать, что с точки зрения надежности каждая линия в данный момент времени может быть либо исправной, либо неисправной. Надежность линии определяется вероятностью безотказной работы R = R ( t ) , задаваемой как функция времени. Будем также предполагать, что линия, вышедшая из строя по причине неполной надежности, может быть введена в строй (отремонтирована), для чего требуется затратить время t p . Величину t p будем считать случайной величиной с заданным законом распределения.

Относительно судьбы заявки, при обслуживании которой линия выходит из строя, могут быть сделаны различные предположения: заявка получает отказ; заявка остается в системе (с общим временем пребывания в системе не более t n ) как претендент на обслуживание вне очереди; заявка поступает в очередь и обслуживается на общих основаниях и т.д.

Сущность метода статистических испытаний применительно к задачам массового обслуживания состоит в следующем. Строятся алгоритмы, при помощи которых можно вырабатывать случайные реализации заданных потоков однородных событий, а также «моделировать» процессы функционирования обслуживающих систем. Эти алгоритмы используются для многократного воспроизведения реализаций случайного процесса обслуживания при фиксированных условиях задачи. Получаемая при этом информация о состояниях процесса подвергается статистической обработке с целью оценки, являющихся показателями качества обслуживания.

Метод статистических испытаний позволяет более полно, по сравнению с асимптотическими формулами, исследовать зависимость качества обслуживания от характеристик потока заявок и параметров обслуживающей системы.

Это достигается благодаря двум обстоятельствам. Во-первых, при решении задач теории массового обслуживания методом статистических испытаний может быть использована более обширная информация о процессе, чем это обычно удается сделать, применяя аналитические методы.

С другой стороны, значения показателей качества обслуживания, получаемые из асимптотических формул, строго говоря, относятся к моментам времени, достаточно удаленным от начала процесса. Реально, для моментов времени, близких к началу процесса, когда еще не наступил стационарный режим, значения показателей качества обслуживания в общем случае существенно отличаются от асимптотических значений. Метод статистических испытаний позволяет достаточно обстоятельно изучать переходные режимы.

Для многих прикладных задач предположения, при которых справедливы аналитические формулы, оказываются слишком стеснительными. При решении задач методом статистических испытаний некоторые предположения могут быть существенно ослаблены.

В первую очередь это относится к многофазному обслуживанию (т.е. рассматриваются обслуживающие системы, состоящие из нескольких последовательно действующих в общем случае неоднотипных агрегатов).

Другим важным обобщением задачи является предположение о характере потока заявок, поступающих на обслуживание. Допускается рассмотрение потоков однородных событий с практически произвольным законом распределения. Последнее обстоятельство оказывается существенным по следующим двум причинам. Во-первых, реальные потоки заявок в некоторых случаях заметно отличаются от простейшего. Для пояснения второй причины предположим, что исходный поток заявок достаточно точно аппроксимируется простейшим потоком. При этом поток заявок, обслуженных на первой фазе, уже, строго говоря не будет простейшим. Поскольку поток, являющийся выходным для первой фазы, будет входным потоком для агрегата, обслуживающего заявки на второй фазе, мы снова приходим к задаче обслуживания потоков, не являющимися простейшими.

· Структура алгоритма, моделирующего

процесс обслуживания заявок

Рассмотрим однофазную СМО, имеющую n линий, на которые поступают заявки в случайные моменты времени t i . Если вмомент поступления заявки оказываются в наличии свободные линии (их число n св ), заявка занимает одну из них на время t p . В противном случае заявка находится в системе до момента t n , ожидая обслудивания. В т t чение времени ожидания некоторые линии могут освободиться (их число m ), и в этом случае будет возможность обслужить заявку. Если до момента времени t n ни одна из линий не освобождается (m =0 ), заявка получает отказ.

Будем считать, что в силу недостаточно высокой надежности системы, линии обслуживающие заявку, могут выходить из строя, тогда заявка получает отказ, а линия может быть отремонтирована и через промежуток времнеи t pem введена в строй.

Для исследования качества обслуживания заявок предусматривается N * кратное моделирование процесса функционирования системы в интервале (0, T ) . В процессе моделирования число обследованных реализаций обозначим через N .

Алгоритм:

1. Определяется момент t i поступления очередной заявки в систему.

2. Если t i < T , то переход на шаг 3, иначе – на шаг 11.

3. Проверка возможности обслужить поступившую заявку: если n св >0 , то переход на шаг 4, иначе – на шаг 12. (Значение времени поступления заявки t i сравнивается с t осв для всех линий, т.о. выявляются свободные линии.)

4.Если n св >1 , то переход на шаг 5, иначе – на шаг 6.

5. Выбирается номер свободной линии по специальным правилам.

6. Назначается выбранная линия.

7. Проверка: имеет ли место срыв обслуживания по причине недостаточной надежности? Если да, то переход на шаг 8, иначе – на шаг 10.

8. Определение времени t рем ремонта линии, вышедшей из строя (t рем имеет определенный закон распределения).

9. N отк = N отк +1 . Переход на шаг 1.

10. Определение времени занятости t з линии, которая назначена обслуживать заявку (некая случайная величина с определенным законом распределения) и времени освобождения линии: t осв = t i + t з . Переход к очередной заявке (шаг 1).

11. Проверка: если N < N * , то N = N +1 и переход на шаг 1, иначе – обработка результатов опыта и конец.

12. Определить:

А) времени t n пребывания заявки в системе;

Б) число освободившихся каналов m за время t n .

13. Если m >0 , то переход на шаг 14, иначе – на шаг 9.

14. Если m >1 , то переход на шаг 15, иначе – на шаг 6.

15. Выбирается определенная линия в соответствии с принятыми правилами и переход на шаг 6.