Решение задачи с помощью MS Excel. Задачи нефтегазовой отрасли

Линейное программирование

1. Нефтяная компания "РТ" для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют "РТ" две химические компании А и В. В нижеследующей таблице приведено содержание химических добавок в каждом продукте, поставляемом указанными компаниями.

Стоимость продукта А - 1,50 ф. ст. за 1 л, а продукта В - 3,00 ф. ст. за 1 л. Требуется: найти ассортиментный набор продуктов А и В, минимизирующий общую стоимость добавленных в топливо химикатов.

Введем переменные:

x1 - количество продукта A;

x2 - количество продукта B.

Формальная постановка данной задачи имеет вид:

Метод решения задачи.

Совокупность граничных условий представляет собой типичную задачу линейного программирования. Одним из наиболее распространенных методов решения является симплекс-метод. Основу метода составляет поиск оптимальных и базовых решений, при которых значение целевой функции последовательно приближается к максимальному (или минимальному, в зависимости от направления поисков). В отличие от графического метода, симплекс-метод не обладает наглядностью, но отличается хорошей пригодностью для автоматизированной обработки результатов. В данной работе будет использован алгоритм последовательного приближения, который встроен в функцию табличного процессора MS Exel.

Ввод исходных данных

Создание экранной формы и ввод исходных данных

• - для ввода переменных x1 и x2, используются ячейки B4 -D4;
• - для отображения значения целевой функции используется ячейка B8, при этом коэффициенты целевой функции введены в ячейки B6-D6;
• - коэффициенты уравнений системы ограничений введены в ячейках B12-B14 и C12-C14.

Ввод зависимостей из формальной постановки задачи в экранную форму. математический программирование линейный

Ввод зависимостей производится с использованием встроенных функций MS Exel. В данном примере использована функция СУММПРОИЗВ которая вычисляет сумму попарных произведений двух или более массивов.

На рис. 2 представлена экранная форма ввода функции СУММПРОИЗВ.

Целевая функция представляет собой сумму произведений содержимого ячеек: B8:D8

Левые части ограничений задачи (1) представляют собой сумму произведений каждой из ячеек, отведенных для значений переменных задачи (B5, C5, D5), на соответствующую ячейку, отведенную для коэффициентов конкретного ограничения (B12, C12 - 1-е ограничение; B13, С 13 - 2-е ограничение и B14, С 14 - 3-е ограничение). Формулы, соответствующие левым частям ограничений, представлены в табл.1.

Формулы, описывающие ограничения модели (1)

Задание целевой функции.

Для работы в надстройке "Поиск решения", необходимо выбрать и загрузить данную надстройку из меню "Сервис".

На рис. 3 изображена экранная форма заполненной таблицы надстройки "Поиск решения". При этом выбрана ячейка B8, значение в которой соответствует целевой функции. Установлено направление поиска как минимизация целевой функции. Указаны ячейки B4, D5, изменения в которых предполагают изменение целевой функции. С помощью кнопки "добавить" вводится условие очередного ограничения.

Установка параметров решения задачи.

Для решения данной задачи использовались значения, установленные по умолчанию (Рис. 4), т.к. увеличение количества итераций не приводит к увеличению точности расчетов.

Ответ: Наиболее экономным является вариант закупки 10 литров продукции компании А на каждые 1000 литров бензина, что обойдется в 15 ф.ст.

Вариант 1.

Нефтяная компания "РТ" для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют "РТ" две химические компании А и В. В нижеследующей таблице приведено содержание химических добавок в каж­дом продукте, поставляемом указанными компаниями.

Стоимость продукта А - 1,50 ф. ст. за 1 л, а продукта В - 3,00 ф. ст. за 1 л. Требуется: найти ассортиментный набор продуктов А и В, минимизирующий общую стоимость добавленных в топливо химикатов.

Вариант 2.

"Princetown Paints Ltd" выпускает три основных типа румян - жидкие, перламутро­вые и матовые - с использованием одинаковых смесеобразующих машин и видов работ. Главному бухгалтеру фирмы было поручено разработать для компании план производства на неделю. Информация о ценах продаж и стоимости 100 л товара приведена в таблице (ф. ст.).

Стоимость 1 чел.-ч составляет 3 ф. ст. а стоимость 1 ч приготовления смеси -4 ф. ст. Фонд рабочего времени ограничен 8000 чел.-ч. в неделю, а ограничение на фонд работы смесеобразующих машин равно 5900 ч. в неделю.

В соответствии с контрактными соглашениями компания должна производить 25000 л матовых румян в неделю. Максимальный спрос на жидкие румяна равен 35000 л в неделю, а на перламутровые румяна - 29000 л в неделю.

Требуется: определить оптимальные объемы производства в неделю, при которых достигается максимальное значение получаемой за неделю прибыли, и соответствующее значение прибыли.

Вариант 3.

Три завода поставляют некоторую разновидность стали на пять торговых складов. Спрос каждого торгового склада в декабре, наличие стали на заводах, а также значения стоимости транспортировки 1 т стали приведены в нижеследующей таблице.

Требуется определить минимальную стоимость транспортировки на декабрь.

Вариант 4.

Администрация деревоперерабатывающего предприятия "Vibra" приняла на работу пять человек. Каждый из них имеет различные способности и навыки и затрачивает различное время на выполнение определенной работы. В настоящее время необходимо выполнить пять видов работ. Время выполнения работы каждым работником приведено в таблице:

Требуется назначить на каждый вид работы одного из работников. Как это нужно сделать, чтобы общее время, необходимое для завершения всех видов работ, было минимальным?

4. МЛТ. Метод искусственного базиса

Цель лабораторной работы - расширить и углубить практические знания и навыки при постановке и решении задач линейного программирования (метод искусственного базиса).

Данный метод решения применяется при наличии в системе ограничений и условий-равенств, и условий-неравенств, и является модификацией табличного метода. Решение системы производится путём ввода искусственных переменных Ri со знаком, зависящим от типа оптимума, т.е. для исключения из базиса этих переменных последние вводятся в целевую функцию с большими отрицательными коэффициентами M, имеющими смысл "штрафов" за ввод искусственных переменных, а в задачи минимизации - с положительными M. Таким образом из исходной получается новая M-задача (поэтому метод искусственного базиса так же называют M-методом).

После выполнения работы студент должен:

Основные приемы работы с системой, если система не имеет предпочитаемого вида.

Решать системы линейных алгебраических уравнений, не имеющих предпочитаемый вид.

Делать симплекс - преобразования.

Навыками использования универсальных и специализированных компьютеров (машин баз данных), аппаратным путём реализующих функции реляционной алгебры.

Целевая функция:

2x1-x2+7x3+11x4+5x5→min

2x1+5x3+x4+8x5=12

3x1+6x2+2x3-2x4≤5

Приведем систему ограничений к каноническому виду, для этого необходимо неравенства преобразовать в равенства, с добавлением дополнительных переменных. Если в преобразуемом неравенстве стоит знак "≥", то при переходе к равенству знаки всех его коэффициентов и свободных членов меняются на противоположные. Тогда система запишется в виде:

2x1+5x3+x4+8x5+R1=12

3x1+6x2+2x3-2x4+X6=5

Переходим к формированию исходной симплекс таблицы. В строку F таблицы заносятся коэффициенты целевой функции.

Так как среди исходного набора условий было равенство (первое условие) мы ввели искусственную переменную R1. Это значит, что в симплекс таблицу нам необходимо добавить дополнительную строку M, элементы которой расчитываются как сумма соответствующих элементов условий-равенств (тех которые после приведения к каноническому виду содержат искусственные переменные R) взятая с противоположным знаком.

Из данных задачи составляем исходную симплекс таблицу.

Так как в столбце свободных членов нет отрицательных элементов, то найдено допустимое решение В строке M имеются отрицательные элементы, это означает что полученное решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке M максимальный по модулю отрицательный элемент - это -8 Ведущей строкой будет та для которой отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Ведущей строкой является R1, а ведущий элемент: 8.

В строке M отрицательные элементы отсутствуют. Рассмотрим строку F в которой имеются отрицательные элементы, это означает что полученное решение не оптимально. Определим ведущий столбец. Для этого найдем в строке F максимальный по модулю отрицательный элемент - это -1 Ведущей строкой будет та для которой положительное отношение свободного члена к соответствующему элементу ведущего столбца минимально. Ведущей строкой является X6, а ведущий элемент: 6.

Так как исходной задачей был поиск минимума, оптимальное решение есть свободный член строки F, взятый с противоположным знаком. Найдено оптимальное решение F=6.667 при значениях переменных равных: X5=1.5, X2=0.833.

Индивидуальные задания.

Вариант 2 – Задание 8.

Нефтяная компания «РТ» для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют «РТ» две химические компании А и В. В табл. 2.8 приведено содержание химических добавок в каждом продукте, поставляемом указанными компаниями.

Таблица 2.8

Стоимость продукта А – 1,50 ф. ст. за 1 л, а продукта В – 3,00 ф. ст. за 1 л. Требуется найти ассортиментный набор продуктов А и В, минимизирующий общую стоимость добавленных в топливо химикатов.

Решим данную задачу с помощью программы Microsoft Excel, применяя функцию «Поиск решения».

Т. к. нам необходимо минимизировать стоимость добавленных химикатов то наша целевая таблица и целевая функция будут выглядеть следующим образом.

При этом значения X, Y и Z в данном случае произвольные, так как это параметры подлежащие изменению в ходе решения.

Так же необходимо учесть заданные в условии ограничения:

Как мы знаем из условия задачи цены продукции А и Б равна 1,5 и 3 соответственно, и объем двигателя равен 1000 литров.

=(E2*1,5+E3*3)*1000

Е2 – объем продукции А;

Е3 – объем продукции Б.

Теперь, с помощью аналитической функции «Поиск решения» найдем решение задачи.

Измененная таблица будет иметь следующий вид:

А целевая функция иметь значение – 118500 ф. ст.

Таким образом минимальные затраты компании будут составлять 118500 ф. ст.

Вариант 4 – Задание 17.

Компания «Orange Computer» производит только один вид продукции – матричные печатающие устройства, которые в настоящее время являются дефицитом. Четыре основных покупателя – это крупные специализированные компьютерные универмаги, расположенные в Аббатстауне, Бесвиче, Карлике и Денстоуне, уже подали заявки, общий размер которых превышает общие производственные мощности трех заводов компании в Рексфорде, Сидоне и Тристроне. Компания должна принять решение о том, как распределить производственные мощности, чтобы получить максимальную прибыль. После того, как каждый принтер тщательно упакован в мягкую упаковку, предохраняющую его от каких-либо повреждений, его помещают в отдельную коробку. В табл. 2.17 приведены значения стоимости транспортировки одной единицы от каждого завода-производителя в каждый специализированный универмаг (ф. ст.):

Таблица 2.17

Поскольку все четыре специализированных универмага расположены в различных частях страны и, следовательно, стоимость транспортировки продукции между заводами-производителями и универмагами различна, а также ввиду некоторых различий в издержках производства каждого из четырех заводов, существующая структура цен предусматривает возможность установления различных цен для каждого из четырех универмагов. В настоящее время установлены следующие цены за единицу продукции: 230 ф. ст. в Аббатстауне, 235 ф. ст. в Бесвиче, 225 ф. ст. в Карлике и 240 ф. ст. в Денстоуне. Издержки производства на единицу продукции составляют 150 ф. ст. на заводах в Рексфорде и Тристроне и 155 ф. ст. на заводе в Сидоне.

Требуется сформировать матрицу, состоящую из входящих в прибыль единичных доходов, соответствующих каждой паре перевозок с заводов-производителей в универмаги.

Значения спроса в Аббатстауне, Бесвиче, Карлике и Денстоуне равны 850, 640, 380 и 230 единицам соответственно. Производственные мощности позволяют производить на заводе в Рексфорде 625, в Сидоне – 825, а в Тристроне – 450 принтеров. Используя алгоритм решения транспортной задачи, определить оптимальное распределение перевозок. Определить соответствующую оптимальному решению прибыль.

Применим функцию «Поиск решения» для решения задачи в программе “MS Excel”.

Для начала зададим в программе исходные данные:

При этом в нулевых ячейках впоследствии будет указано оптимальное распределение данной задачи. При этом общая сумма по строкам и столбцам не должна превышать указанных значений. Зададим это ограничениями в функции «Поиск решения» в программе MS Excel. Следует также отметить, что первая строка обозначает фиктивного поставщика, т. к. наблюдается нехватка продукции от поставщиков.

При этом целевая функция будет иметь вид:

СУММПРОИЗВ(B1:E4;B9:E12)

Где ячейки В1:Е4 – характеризуют цены на транспортировку,

Ячейки В9:Е12 – количество поставляемой продукции.

С помощью функции MS Excel “Поиск решения”, введем следующие параметры, отражающие ограничения и целевую функцию.

Нажав «Найти решение» получим следующий результат:

Данная таблица отражает оптимальное распределение поставок для компании «Orange Computer». При этом Город Денстоун получит лишь 30 единиц товара, т.к. 200 единиц фиктивного поставщика не включаются в окончательную поставку.

Значение целевой функции равно 39510 что соответствует максимальной прибыли компании при минимальных затратах.

Вариант 7 – Задание 7.

Краткое описание

Задание 8.
Дано:
Нефтяная компания «РТ» для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют «РТ» две химические компании А и В. В табл. 2.8 приведено содержание химических добавок в каждом продукте, поставляемом указанными компаниями.
Задание 17.

Компания «Orange Computer» производит только один вид продукции – матричные печатающие устройства, которые в настоящее время являются дефицитом. Четыре основных покупателя – это крупные специализированные компьютерные универмаги, расположенные в Аббатстауне, Бесвиче, Карлике и Денстоуне, уже подали заявки, общий размер которых превышает общие производственные мощности трех заводов компании в Рексфорде, Сидоне и Тристроне. Компания должна принять решение о том, как распределить производственные мощности, чтобы получить максимальную прибыль. После того, как каждый принтер тщательно упакован в мягкую упаковку, предохраняющую его от каких-либо повреждений, его помещают в отдельную коробку. В табл. 2.17 приведены значения стоимости транспортировки одной единицы от каждого завода-производителя в каждый специализированный универмаг (ф. ст.).

Упражнение 12.1

Фабрика "GRM pic" выпускает два вида для завтрака - ’’Crunchy" и "Chewy". Используемые для производства обоих продуктов ингредиенты в основном одинаковы и, как правило, не являются дефицитными. Основным ограничением, накладываемым на объем выпуска, является наличие фонда рабочего времени в каждом из трех цехов фабрики.

Управляющему производством Джою Дисону необходимо разработать план производства на месяц. В приведенной ниже таблице указаны общий фонд рабочего времени и число человеко-часов, требуемое для производства продукта.

Доход от производства составляет ст., а от производства ст. На настоящий момент нет никаких ограничений на возможные объемы продаж. Имеется возможность продать всю произведенную продукцию.

Требуется: сформулировать модель линейного программирования, максимизирующую общий доход фабрики за месяц.

Упражнение 12.2

Оливер А. Петерс скоро выйдет на пенсию, и ему предстоит решить, как поступить с единовременным пособием, которое в соответствии с пенсионной программой будет предоставлено ему фирмой. Петерс и его супруга намерены предпринять длительный визит в Австралию к своей дочери сроком на два года, поэтому любые сделанные в настоящий момент инвестиции будут свободны для использования на данный период. Очевидно, цель Петерса состоит в максимизации общего дохода от вложений, полученного за двухлетний период.

Мистера Петерса проконсультировали, что наилучшим вариантом вложения инвестиций был бы инвестиционный фонд, и в настоящее время он рассматривает возможность помещения инвестиций в один из таких фондов, состоящий из инвестиций трех типов - А, В и С. Сумма единовременного пособия составит 25000 ф. ст., однако, мистер Петерс считает, что нет необходимости вкладывать в данный инвестиционный фонд все деньги; часть из них он намерен перевести на свой счет жилищно-строительного кооператива, который гарантирует ему 9% годовых.

По мнению бухгалтера фирмы, мистеру Петерсу следует попытаться распределить свои инвестиции таким образом, чтобы обеспечить как получение дохода, так и рост капитала. Поэтому ему посоветовали не менее 40% от общей суммы вложить в вариант А и перевести на свой счет. Для обеспечения значительного роста капитала не менее 25% общей суммы денежных средств, вложенных в инвестиционный фонд, необходимо поместить в проект В, однако, вложения в В не должны превышать 35% общего объема вложений в инвестиционный фонд ввиду высокой вероятности риска, соответствующий

проекту В. Кроме того, для сохранности капитала в проекты А и С следует вложить не менее 50% средств, помещаемых в инвестиционный фонд.

В настоящее время проект А позволяет получать годовых и обеспечивает роста капитала; проект В предполагает рост капитала в проект С дает 4% годовых и 5%-ный рост капитала.

Требуется: учитывая цель Петерса, сформулировать модель линейного программирования, показывающую, как следует распределить сумму единовременного пособия между различными проектами инвестиций.

Упражнение 12.3

Китайская компания с ограниченной ответственностью по производству гусеничных механизмов выпускает пять сходных друг с другом товаров - А, В, С, D, и Е. В нижеследующей таблице представлены расходы ресурсов, необходимых для выпуска единицы каждого товара, а также недельные запасы каждого ресурса и цены продажи единицы каждого продукта.

Известны также издержки, связанные с использованием каждого вида ресурсов:

сырье - ст. за 1 кг;

сборка - ст. за

обжиг - ст. за

упаковка - ст. за

Требуется:

а) сформулировать задачу линейного программирования таким образом, чтобы в качестве переменных как целевой функции, так и ограничений выступали ресурсы;

б) кратко сформулировать предпосылки применения модели. Для максимизации элементов, составляющих прибыль за неделю, следует использовать компьютерный пакет прикладных программ.

(АССА, декабрь 1987).

Упражнение 12.4

Используя модель линейного программирования, построенную в упражнении 12.1, нужно помочь Джою Дисону найти оптимальный ассортиментный набор на следующий месяц, если политика компании состоит в максимизации общего дохода за месяц. Каково значение максимального дохода?

Упражнение 12.5

Нефтяная компания для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в

него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют "РТ" две химические компании А и В. В нижеследующей таблице приведено содержание химических добавок в каждом продукте, поставляемом указанными компаниями.

Стоимость продукта ст. за а продукта ст. за Требуется: найти ассортиментный набор продуктов А и В, минимизирующий общую стоимость добавленных в топливо химикатов.

Упражнение 12.6

Обратимся вновь к упражнениям 12.1 и 12.4. Исполнительный директор корпорации "GRM" принял решение об увеличении фонда рабочего времени посредством введения сверхурочной работы служащих корпорации. Джой Дисон собрал следующую информацию о стоимости сверхурочной работы и вероятной ее продолжительности по каждому из трех цехов:

Для того, чтобы свести к минимуму административную работу и издержки, Джой Дисон принял решение о том, что сверхурочную работу следует ввести только в одном из цехов, по крайней мере на первое время.

Требуется: используя приведенную выше информацию, принять решение о том, в каком цехе следует ввести сверхурочную работу, и каково максимальное число сверхурочных человеко-часов для данного цеха.

Упражнение 12.7

Один из заводов легкой промышленности производит порошок для изготовления солодовых напитков трех видов. Один из них продается в качестве напитка здоровья, поскольку имеет низкое содержание сахара; другой напиток поставляется в медицинские учреждения в качестве продукции для больных, поскольку он содержит витаминные добавки; наконец, третий является стандартным товаром.

В приведенной ниже таблице для каждого напитка указаны основные ингредиенты, их стоимость и размер недельного запаса, а также оценки максимального спроса на соответствующие товары за неделю.

(см. скан)

Запас витаминных добавок неограничен. Издержки производства остальных переменных имеют следующие значения: 10 пенсов за 1 кг стандартного напитка, 9 пенсов за 1 кг напитка здоровья и 12 пенсов за 1 кг напитка для больных. Требуется:

1. Для изложенной проблемы сформулировать модель линейного программирования, целевая функция которой максимизирует общий доход, получаемый за неделю.

2. Ниже приведена итоговая симплекс-таблица, полученная при решении данной задачи:

(см. скан)

В данной таблице переменные связаны со стандартным напитком, напитком здоровья и напитком для больных соответственно. Переменные связаны с ограничениями на сахар, солод и сливки соответственно. Переменные связаны с ограничениями для максимального спроса на стандартный напиток, напиток здоровья и напиток для больных соответственно. Определить:

а) оптимальный ассортиментный набор;

б) максимальное значение дохода за неделю;

в) значения резервного запаса для ограничений задачи.

3. Используя приведенную в таблицу, дать ответы на следующие вопросы:

а) Последние исследования потребительского рынка показали, что напиток здоровья приобретает все большую популярность. Новое значение максимального

мального спроса составило 2500 кг в неделю. Каково воздействие этого процесса на оптимальный ассортиментный набор? б) Администрация компании обдумывает решение о покупке некоторого дополнительного количества солодового экстракта. Однако компания будет вынуждена иметь дело с новым поставщиком и покупать сырье по 80 пенсов за 1 кг. Позволит ли такая мера увеличить еженедельный доход? Если это так, то каково максимальное количество сырья, которое следует закупить у нового поставщика?

Упражнение 12.8

По условиям упражнения 12.1 требуется:

1. Построить для изложенной проблемы двойственную модель линейного программирования;

2. Дать интерпретацию двойственных переменных в контексте поставленного выше вопроса.

Упражнение 12.9

"Princetown Paints Ltd" выпускает три основных типа румян - жидкие, перламутровые и матовые - с использованием одинаковых смесеобразующих машин и видов работ. Главному бухгалтеру фирмы было поручено разработать для компании план производства на неделю. Информация о ценах продаж и стоимости товара приведена в таблице ст.).

Стоимость составляет ст. а стоимость приготовления смеси ст. Фонд рабочего времени ограничен в неделю, а ограничение на фонд работы смесеобразующих машин равно в неделю.

В соответствии с контрактными соглашениями компания должна производить матовых румян в неделю. Максимальный спрос на жидкие румяна равен в неделю, а на перламутровые румяна в неделю.

Требуется:

1. Сформулировать задачу линейного программирования, позволяющую определить объемы производства жидких и перламутровых румян в неделю, при которых достигается максимальное значение получаемой за неделю прибыли.

2. Решить эту задачу графически. Определить оптимальные объемы производства в неделю и соответствующее значение прибыли.

А. Предположим, что рабочие готовятся к сверхурочной работе за дополнительное вознаграждение в ст. за каждый сверхурочно отработанный час. Будет ли целесообразным введение сверхурочной работы на таких условиях? Если это так, то каковы ваши рекомендации по поводу количества часов сверхурочной работы, которое следует ввести, и какова будет дополнительная прибыль от применения сверхурочной работы?

(АССА, июнь 1988 г.)

Упражнение 12.10

Администрация компании "Nemesis Company", осуществляя рационализаторскую программу корпорации, приняла решение о слиянии двух своих заводов в Аббате-филде и Берчвуде. Предусматривается закрытие завода в Аббатсфилде и за счет этого - расширение производственных мощностей предприятия в Берчвуде. На настоящий момент распределение рабочих высокой и низкой квалификации, занятых на обоих заводах, является следующим:

В то же время послё слияния завод в Берчвуде должен насчитывать 240 рабочих высокой и 320 рабочих низкой квалификации.

После проведения всесторонних переговоров с привлечением руководителей профсоюзов были выработаны следующие финансовые соглашения:

1. Все рабочие, которые попали под сокращение штатов, получат выходные пособия следующих размеров:

Квалифицированные рабочие - ст.;

Неквалифицированные рабочие - ст.

2. Рабочие завода в Аббатсфилде, которые должны будут переехать, получат пособие по переезду в размере ст.

3. Во избежание каких-либо преимуществ для рабочих Берчвудского завода доля бывших рабочих завода в Аббатсфилде на новом предприятии должна совпадать с долей бывших рабочих Берчвудского завода.

Требуется:

1. Построить модель линейного программирования, в которой определяется, как осуществить выбор работников нового предприятия из числа рабочих двух бывших заводов таким образом, чтобы минимизировать общие издержки, связанные с увольнением и переменой места жительства части рабочих. В процессе формализации следует использовать следующие переменные:

Число квалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Аббатсфилде;

Число квалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Берчвуде;

Число неквалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Аббатсфилде;

Число неквалифицированных рабочих, переведенных на новую работу с завода в Берчвуде.

2. Используя два из ограничений-уравнений, элиминируйте влияние двух из четырех переменных модели и решите полученную задачу графическим методом. Каковы минимальные издержки увольнения и перемены места жительства части рабочих?

(АССА, июнь 1987).

Упражнение 12.11

а) Выявите преимущества и недостатки графического метода решения задач линейного программирования по сравнению с симплекс-методом.

б) Менеджер международной банковской организации по инвестициям располагает ст., находящимися на счете банка, которые необходимо инвестировать, и рассматривает четыре общих типа инвестиций, а именно:

Тип 1: государственные ценные бумаги;

Тип 2: ценные бумаги корпораций;

Тип 3: обыкновенные акции отраслей сферы обслуживания;

Тип 4: обыкновенные акции отраслей производственной сферы.

Целью менеджера по инвестициям является максимизация нормы отдачи вложений, причем размер годовых процентов от инвестиций равен 8, 9, 10 и 12% для типов 1, 2, 3 и 4 соответственно. Денежные средства, не инвестированные ни по одному из указанных выше типов, остаются на банковском счете и приносят 4% годовых.

Менеджер по инвестициям принял решение, что не менее ст. следует поместить в ценные бумаги корпораций, а в инвестиционные проекты с элементами риска (т.е. ценные бумаги корпораций и все виды обыкновенных акций) следует вложить не более ст. Кроме того, он считает, что по крайней мере половину общей суммы денежных средств, инвестированных в соответствии с указанными выше типами инвестиций, следует вложить в обыкновенные акции, но в акции отраслей производственной сферы следует поместить не более одной четверти общей суммы инвестиций.

Требуется: сформулировать для данной проблемы задачу линейного программирования, целевая функция и ограничения которой будут содержать четыре переменных таким образом, чтобы ввод информации и анализ задачи можно было осуществить с использованием пакета прикладных программ по линейному программированию.

После ввода исходных данных и анализа целевой функции и ограничений с помощью линейного программирования, использующего симплекс-метод, была получена следующая выходная информация:

где сумма, вложенная в тип инвестиий ст.

Основываясь на полученной выходной информации, кратко пояснить, каково значение терминов "остаточные и избыточные переменные".

Используя выходную информацию, определить оптимальный план инвестиций, сумму денежных средств, оставленных на банковском счете, и ежегодный доход от реализации данного плана, выраженный в процентах.

Теневая цена ограничения, связанного с тем, что в акции или ценные бумаги с элементами риска следует вкладывать не более ст., принимает значение, равное 0,11. Интерпретируйте данное значение.

(АССА, декабрь 1989 г.)

Упражнение 12.12

По данным упражнения 12.3 требуется:

1. В результате применения пакета прикладных программ была получена следующая итоговая таблица решения данной задачи симплекс-методом:

Здесь А, В, С, D и Е - объемы производства пяти продуктов в неделю; X - количество неиспользуемого сырья, которое остается от максимального запаса; Т, - соответствующие количества неиспользуемого фонда рабочего времени на стадиях производства, обжига и упаковки, которое остается от максимального резерва фонда рабочего времени в неделю.

а) Используя информацию, представленную в таблице, определить для компании по производству гусеничных механизмов оптимальный план производства продукции на неделю.

б) Описать последствия реализации этого плана с точки зрения недоиспользуемых ресурсов и вклада отдельных компонент в общую прибыль.

2. На примере данной задачи объяснить значение термина "двойственная оценка или теневая цена ресурса".

3. Есть предложение, что компании следует производить дополнительный продукт, цена продажи которого составит ст. за единицу. Производство

единицы этого продукта требует кг сырья, а также затрат рабочего времени в для производства, для обжига и для упаковки. Целесообразна ли реализация этого предложения на практике?

(АССА, декабрь 1987 г.)

Упражнение 12.13

Компания "Bermuda Paint" - частная промышленная фирма, специализирующаяся на производстве технических лаков. Представленная ниже таблица содержит информацию о ценах продажи и соответствующих издержках производства единицы полировочного и матового лаков.

Для производства 1 галлона матового лака необходимо затратить 6 мин трудозатрат, а для производства одного галлона полировочного лака - 12 мин. Резерв фонда рабочего времени составляет в день. Размер ежедневного запаса необходимой химической смеси равен 100 унциям, тогда как ее расход на один галлон матового и полировочного лаков составляет 0,05 и 0,02 унции соответственно. Технологические возможности завода позволяют выпускать не более 3000 галлонов лака в день.

В соответствии с соглашением с основным оптовым покупателем компания должна поставлять ему 5000 галлонов матового лака и 2500 галлонов полировочного лака за каждую рабочую неделю (состоящую из 5 дней). Кроме того, существует профсоюзное соглашение, в котором оговаривается минимальный объем производства в день, равный 2000 галлонов. Администрации данной компании необходимо определить ежедневные объемы производства каждого вида лаков, которые позволяют получать максимальный общий доход.

Требуется:

а) Построить линейную модель для производственной проблемы, с которой столкнулась компания.

б) Используя графический метод, определить ежедневный оптимальный план производства и соответствующую ему величину дохода.

в) Профсоюз компании требует увеличения оплаты сверхурочных работ на ст.

Обосновать, сочтет ли администрация компании целесообразным такое предложение?

Если указанный размер оплаты сверхурочных работ является выгодным, какое количество часов сверхурочных работ в день целесообразно использовать?

г) Для исходной задачи (не учитывающей сверхурочные работы) определить промежуток изменений показателя единичного дохода за 1 галлон полировочного лака, в котором исходное оптимальное решение остается прежним.

1. Нефтяная компания "РТ" для улучшения эксплуатационных качеств и снижения точки замораживания дизельного топлива, которое она производит, добавляет в него определенные химикаты. В каждом бензобаке объемом 1000 л должно содержаться не менее 40 мг химической добавки X, не менее 14 мг химической добавки Y и не менее 18 мг химической добавки Z. Необходимые химические добавки в форме готовых смесей поставляют "РТ" две химические компании А и В. В нижеследующей таблице приведено содержание химических добавок в каждом продукте, поставляемом указанными компаниями.

Стоимость продукта А - 1,50 ф. ст. за 1 л, а продукта В - 3,00 ф. ст. за 1 л. Требуется: найти ассортиментный набор продуктов А и В, минимизирующий общую стоимость добавленных в топливо химикатов.
Рекомендации к решению: после составления экономико-математической модели задачи, ее можно будет решить симплекс-методом .

2. "Princetown Paints Ltd" выпускает три основных типа румян - жидкие, перламутровые и матовые - с использованием одинаковых смесеобразующих машин и видов работ. Главному бухгалтеру фирмы было поручено разработать для компании план производства на неделю. Информация о ценах продаж и стоимости 100 л товара приведена в таблице (ф. ст.).

3. Компания "Bermuda Paint" - частная промышленная фирма, специализирующаяся на производстве технических лаков. Представленная ниже таблица содержит информацию о ценах продажи и соответствующих издержках производства единицы полировочного и матового лаков.

4. Три завода поставляют некоторую разновидность стали на пять торговых складов. Спрос каждого торгового склада в декабре, наличие стали на заводах, а также значения стоимости транспортировки 1 т стали приведены в нижеследующей таблице.

5. Администрация деревоперерабатывающего предприятия "Vibra" приняла на работу пять человек. Каждый из них имеет различные способности и навыки и затрачивает различное время на выполнение определенной работы. В настоящее время необходимо выполнить пять видов работ. Время выполнения работы каждым работником приведено в таблице:

6. Механический завод при изготовлении двух типов деталей использует токарное, фрезерное и сварочное оборудование. При этом обработку каждой детали можно вести двумя различными технологическими способами. Полезный фонд времени работы каждой группы оборудования (в станко-часах), нормы расхода времени при обработке детали на соответствующем оборудовании по данному технологическому способу и прибыль от выпуска единицы деталей каждого вида даны в таблице.

Решение .
Обозначим через x ij объем выпуска i-й детали j-м технологическим способом.
Блок ограничений на ресурсы представлен ограничениями на количество рабочего времени каждого станка:
фрезерный: (2x 11 + 2x 12) + (3x 21) ≤ 20,
токарный: (3x 11 + x 13) + (x 21 + 2x 22) ≤ 37,
сварочный: (x 12) + (x 22 + 4x 23) ≤ 30.
Построим целевую функцию. Задача состоит в максимизации прибыли компании. Поэтому в качестве целевой функции получим следующее выражение:
11x 11 + 6x 12 + 9x 21 + 6x 22 → max