Метод последовательных уступок онлайн решение. Большая энциклопедия нефти и газа

Назначение сервиса . Сервис предназначен для онлайн решения многокритериальных задач оптимизации методом последовательных уступок .

Инструкция . Выберите количество переменных и количество строк (количество ограничений). Полученное решение сохраняется в файле Word и Excel .

Вместе с этим калькулятором также используют следующие:
Графический метод решения ЗЛП

Решение транспортной задачи

Решение матричной игры
С помощью сервиса в онлайн режиме можно определить цену матричной игры (нижнюю и верхнюю границы), проверить наличие седловой точки, найти решение смешанной стратегии методами: минимакс, симплекс-метод, графический (геометрический) метод, методом Брауна.

Экстремум функции двух переменных

Задачи динамического программирования
Распределить 5 однородных партий товара между тремя рынками так, чтобы получить максимальный доход от их продажи. Доход от продажи на каждом рынке G(X) зависит от количества реализованных партий товара Х и представлен в таблице.

Алгоритм метода последовательных уступок (компромиссов)

Примеры решения многокритериальной задачи методом последовательных уступок

Далее переходим к решению задачи
f 2 (x)=x 1 -5x 2 -4x 3 +x 4 → max
при ограничениях задачи, к которым добавлено новое ограничение f 1 (x)≥f 1 * -Δ:
-x 1 +x 2 +x 3 =2,
3x 1 -x 2 +x 4 =3 , (7)
5x 1 +2x 2 +x 3 +x 4 +x 5 =11,
7x 1 +2x 3 - x 4 +x 5 ³16-Δ,
x i ≥ 0 для i=1,2,...,5.
Новое ограничение преобразуем в равенство и заменим переменные x 1 , x 3, x 5 , используя таблицу 11, выражениями
x 1 =1/3x 2 -1/3x 4 +1, x 3 =-2/3x 2 -1/3x 4 +3, x 5 =-3x 2 +x 4 +3.
В результате этих преобразований дополнительно введенное ограничение примет вид -2x 2 -x 4 +x 6 =-16+Δ. Итак, получили задачу параметрического программирования с параметром в правой части ограничений.
В качестве начальной таблицы для задачи (7) можно использовать таблицу 12, которая получена из таблицы 11 в результате пополнения ее еще одной строкой и пересчета строки относительных оценок. Решим задачу (7) для произвольного параметра Δ≥0. Для этого столбец правых частей ограничений в таблице 12 представим в виде двух столбцов z′, z″: z i 0 =z i ′+z i ″Δ. При выборе главной строки в таблице 12 следует использовать значения из столбца z′. Полученная далее таблица 13 является оптимальной при Δ=0 и при всех значениях Δ, удовлетворяющих условиям
3+(-1/9) Δ ≥ 0, 1+(-1/9) Δ ≥ 0, 3+1/3 Δ ≥ 0, 0+1/3 Δ ≥ 0.
Из этой системы неравенств получаем 0 ≤ Δ ≤ 9. При этих значениях параметра решением задачи является точка x*=(1+(-1/9)Δ, 0, 3+(-1/9)Δ, 0+1/3Δ, 3+1/3Δ).
Таблица 12. Таблица 13.

Пример №2 . Методом последовательных уступок найти решение задачи, считая, что критерии упорядочены по важности в последовательности {f 2 ,f 1 }, и Δ 2 =1.
f 1 =-x 1 +3x 2 → max,
f 2 (x)=4x 1 -x 2 → max ,
Первая задача из последовательности (6) в данном случае имеет вид:
f 2 (x)=4x 1 -x 2 → max ,
при ограничениях
-x 1 +x 2 ≤1, x 1 +x 2 ≥3, x 1 -2x 2 ≤0 , x 1 ≤4 , x 2 ≤3.
Решение этой задачи можно найти графически. Из рисунка 14 видно, что максимум критерия f 2 (x) на множестве X достигается в вершине x 5 =(4,2) и f 2 * =f 2 (x 5)=14.
Графическое решение примера №2.

Рис.
Добавим к ограничениям задачи условие f 2 ≥f 2 * -Δ и сформулируем вто­рую задачу последовательности (6):
f 1 =-x 1 +3x 2 → max,
-x 1 +x 2 1 , x 1 +x 2 3, x 1 -2x 2 0 , x 1 4 , x 2 3,
4x 1 -x 2 13
Ее решением (рис.) будет вершина x 4 =(4,3) и f 1 * =f 1 (x 4)=5. Так как, оптимальное решение последней задачи единственно, то в силу утверждения 5, x 4 принадлежит множеству Парето.
Отметим, что при Δ∈ методом последовательных уступок будет найдена одна из точек отрезка , а при Δ>1, одна из точек отрезка . Все эти точки и только они принадлежит множеству Парето.

Интерактивные методы ориентированы на решение МКЗ, в которых требуется выделить наиболее предпочтительный объект (решение). В некоторых методах удается упорядочить объекты по предпочтению.

В основу каждого метода положен определенный подход к выбору наиболее предпочтительного объекта. В большинстве случаев такие эвристические подходы создаются на основе анализа и решения практических задач. Так как многокри­териальные задачи часто встречаются в практике и, значит, их постановок большое число, то и интерактивных методов значи­тельное количество.

В данном разделе рассмотрены различные по своим подходам методы. Первые два метода: метод уступок иметод смещенного идеала относятся к разным группам методов. Последующие три метода относятся к группе методов, позволяющих устанавливать бинарные отношения между объектами (outranking). В этих методах между объектами устанавливаются отношения: предпочтения (),безразличия (~)или несравнимости (N). Одним из первых методов этой группы былметод ELECTRE ,получивший свое развитие вметоде PROMETHEE . К этой же группе относится иметод ORESTE , но он существенно отличается от вышеперечисленных методов. Изложенные в данном разделе методы дают представление о многообразии интерактивных методов решения МКЗ.

Метод уступок

Данный метод позволяет выделить наиболее предпочти­тельный объект из конечного исходного множества.

Основная идея метода заключается в поэтапном исключе­нии доминируемых объектов. Для установления доминирования между конкурирующими по двум критериям объектами используются коэффициенты замещения критериев. Блок-схема метода приведена на рис.2.1. Рассмотрим метод на примере.

Пусть стоит задача выбора варианта квартиры по трём критериям: k 1 – цена (тыс.$),k 2 – площадь (м 2),k 3 – расположение дома от метро (мин ходьбы до метро). Опреде­лим характер изменения критериев: предпочтение вариантов возрастает при уменьшенииk 1 ,k 3 и при увеличенииk 2 . Альтернативные варианты приведены в табл.2.1.

Таблица 2.1

Пример выбора варианта квартиры

На первом этапе выделим доминируемые варианты. Среди пяти исходных В 4 доминируетВ 3 , поэтому вариант 3исключа­ем. Оставшиеся варианты конкурируют между собой (оптималь­ны по Парето).

На втором этапе зададим коэффициент замещения второго критерия первым. В данном примере ЛПР должно ответить на вопрос: сколько тыс.$ оно готово заплатить за каждый дополни­тельный квадратный метр площади. Пусть

т.е. на столько по критерию k 1 он уступает при сравнении вариантов по критериюk 2 .

С учетом заданного коэффициента замещения Z 2,1 сравним вариантыВ 1 иВ 2 .

По критерию k 1 вариант 1предпочтительнее на б тыс.$, а по критериюk 2 , вариант 2предпочтительнее на .

Таким образом с учетом Z 2,1 = 1тыс.$по критериям k 1 иk 2 вариант 1 предпочтительнееВ 2 , так как. Поскольку по критериюk 3 вариант 1также предпочтительнееВ 2 , тоВ 1 доминируетВ 2 и значитВ 2 должен быть исключен.

З
десь и далее во всех блок-схемах интерактивных методов двойными контурными линиями выделены блоки, выполняе­мые с участием ЛПР. При сравненииВ 1 иВ 4 получим:

С учетом значенийk 3 вариант 1 доминируетВ 4 .

Сравнивая В 1 иВ 5 , определим

Значит, В 5 предпочтительнееВ 1 по критериямk 1 иk 2 , а с учётомk 3 получим,что эти два варианта конкурируют между собой.

После исключения доминируемых вариантовна основе коэффициента замещенияZ 2,1 остались два вариантаВ 1 иВ 5 .

Зададим коэффициент замещения третьего критерия первым. Пусть ЛПР готово уступить за каждую минуту (расстояние до метро) 100 $,т.е.

Сравнивая варианты В 1 иВ 5 , получим

Значит В 5 предпочтительнееВ 1 . Однако, надо иметь в виду, что вывод о предпочтительностиВ 5 неустойчив. Действи­тельно, если коэффициент замещенияZ 2,1 принять равным0,15тыс.$, получим, чтоВ 1 предпочтительнееВ 5 .

Поэтому для большей уверенности при выборе вариантов следует ввести дополнительныекритерии.

Необходимо отметить, что при использовании метода уступок важно производить исследование устойчивости результа­та от задаваемых коэффициентов замещения.

Порядок, в котором вводятся в алгоритм коэффициенты замещения, не влияет на итоговый результат выделения наиболее предпочтительного варианта, т.е., если бы в примере ввести сначала Z 3,1 , а потомZ 2,1 , всё равноВ 5 будет наилуч­шим.

В заключение отметим особенности метода уступок:

метод позволяет выделять наиболее предпочтительные варианты;

отсутствуют процедуры перехода к относительным единицам (они не требуются);

агрегирование критериев осуществляется через коэффици­енты замещения критериев;

результаты выделения наиболее предпочтительного варианта часто неустойчивы к коэффициентам замещения. Поэтому особое внимание следует уделять исследованию резуль­татов на устойчивость.

Улучшенной разновидностью метода перевода менее важных критериев в ограничения является метод последовательных уступок (называемый также методом оптимизации по последовательно применяемым критериям), предлагаемый прежде всего В.

В. Подиновским в ряде работ. Его суть состоит в следующем. Проводится анализ относительной важности критериев и критерии располагаются и нумеруются в порядке убывания важности. Производится

оптимизация по первому критерию и определяется его наибольшее значение f*. Далее эксперт оценивает величину допустимого снижения (уступки) данного критерия (f1* - Af) и ищется оптимум второго по важности критерия и т.д. После оптимизации последнего по важности критерия при условии, что значение каждого критерия k = 1, K должно быть не меньше (f* - Afk), k = 1, K , получаемые решения считаются оптимальными.

Достоинства данного метода в его простоте и наглядности. Важным преимуществом является возможность целенаправленного участия лица, принимающего решения в процессе оптимизации с учетом ранее полученных (на предыдущем этапе оптимизации) данных путем выбора величины уступки по каждому критерию.

Основным теоретическим недостатком данного метода является то, что на каждом шаге происходит усечение множества точек, оптимальных по Парето, отсюда в общем случае получившееся решение не оптимально по Парето, т. е. требуется дополнительное доказательство оптимальности по Парето данного решения, что является очень сложной процедурой. Иначе придется смириться с тем, что данное решение, хотя и удовлетворяет лицо, принимающее решение значениями всех критериев, но не обязательно является оптимальным. Однако на практике это не столь важно, так как в реальной ситуации ищут, как правило, не оптимальное, но «достаточно хорошее» решение. Вторым недостатком является сложность выбора и обоснования величин уступок по отдельным критериям, так как величины уступок не соизмеримы между собой ввиду различной экономической сущности разных критериев. Однако от второго недостатка можно избавиться применением нормализации критериев.

Еще по теме Метод уступок:

1. Порядок признания доходов при методе начисления и кассовом методе
2. 3. Метод дисконтированных денежных потоков: сущность метода, основные этапы оценки
3. метод цепных подстановок с использованием индексов (индексный метод).
4. 5.6. Корректировка при переходе от метода ЛИФО к методу ФИФО
5. 15.6. Метод калькулирования сокращенной себестоимости продукции (метод директ-костинга)
6. 3. Метод стоимости розничных продаж и метод обследований семейных бюджетов
7. 7.3. Комплексные методы учета влияния инфляции на показатели бухгалтерской отчетности. Метод восстановительной стоимости

1. Расположить критерии по убыванию их значимости.

2. Решить задачу по первому критерию () 1 f x , то есть отыскать

субоптимальное

* решение () . 1

1 f Х = F

* Субоптимальное решение – оптимальное решение по одной из частных целевых функ-

3. Сделать «уступку» по первому критерию, т. е. уменьшить

величину F1 до значения 1 1,

1 F = k F 0 1 1 £ k £ .

4. Ввести в модель дополнительное ограничение

f1 (x) ³ k1F1 = F1 .

5. Решить задачу по второму критерию () 2 f x , т. е. найти су-

боптимальное решение () opt

f2 Х ** = F2.

6. Сделать уступку по второму критерию

2 F = k F 0 1 2 £ k £ .

7. Ввести в задачу дополнительное ограничение

f 2 (x) ³ k2F2 = F2 .

8. Решить задачу по третьему критерию () 3 f x

3 f (Х) = F и т. д.

Субоптимальный план, найденный при решении последней

задачи, является оптимальным компромиссным планом в данной

схеме компромисса.

Ниже на рис. 6.2. приводится наглядная графическая иллюст-

рация данного метода для случая трех целевых функций. Метод

последовательных уступок, являясь чрезвычайно простым и по-

нятным в реализации, обладает, тем не менее, целым рядом недос-

татков, основными из которых являются:

1. Сложность и субъективизм в ранжировании критериев.

2. Субъективизм в задании величин уступок.

3. Степени достижения оптимума (безусловного) по всем

критериям, кроме первого, неопределены. Рассчитать их можно,

лишь решив исходные модели по соответствующим целевым

функциям (еще (S -1) задач) на глобальный оптимум.

** Обращаем внимание читателей на то, что для всех целевых функций, начиная со вто-

рой, оптимальные решения являются условными (в условиях сделанных ранее уступок).

у с т

к о м п р X

Рис. 6.2. Графическая иллюстрация метода последовательных

уступок

4. Поскольку уступка по последнему критерию не делается,

степень достижения оптимума по нему может оказаться совер-

шенно неудовлетворительной. Для «исправления» плана в этом

случае все расчеты должны быть повторены с другими (причем не

гарантирующими нужных окончательных результатов) коэффици-

ентами уступок.

Метод минимизации суммы относительных степеней

достижения цели

Общий вид модели, формализующей данную схему компро-

мисса, будет следующим:

  

  

- + - + +

F f x ()

при g x b i i i () £ ," ,

где s F – лучшее, оптимальное _______значение целевой функции s (s =1,S);

f (x) s – текущее значение целевой функции s (s =1,S).

* Данная схема компромисса представляет собой по существу формализованную

интерпретацию основного закона социализма, сформулированного И. Сталиным: «Обес-

печение максимального удовлетворения постоянно растущих материальных и культур-

ных потребностей всего общества путем непрерывного роста и совершенствования со-

циалистического производства на базе высшей техники» (Сталин И. Экономические

проблемы социализма в СССР. – М.: Госполитиздат, 1952).

Основным недостатком данной схемы является взаимоком-

пенсация влияния локальных целевых функций (показателей) на

целевую функцию глобальной модели.

Для устранения данного недостатка в модель должны быть

добавлены дополнительные ограничения, «следящие» за тем, что-

бы по определенному набору локальных целевых показателей не

были получены их недопустимые минимальные уровни.

Метод минимизации равных относительных степеней достиже-

ния цели

Если под компромиссным решением понимать такой план,

который по каждому целевому показателю обеспечивает одинако-

вые относительные отклонения от оптимальных решений, то соот-

ветствующая математическая модель, позволяющая найти это ре-

шение, будет иметь вид

  

  

- = - = =

F f x ()

при g x b i i i () £ ," .

Читателю предлагается самостоятельно привести модель к

линейному виду, считая, что целевые функции и функции затрат

всех ресурсов линейны.

Недостатки метода:

1. Уравнительный характер искомого компромиссного плана.

2. Наихудший (по степени достижения цели) показатель оп-

ределяет результаты по всем остальным компонентам целевой

вектор-функции.

Метод максимизации минимальной относительной степени дос-

тижения цели

Свободным от недостатков рассмотренных выше методов яв-

ляется метод, в котором компромисс формализуется как поиск ре-

шения, максимизирующего по всем показателям относительную

минимальную степень достижения цели.

Рассмотрим эту схему компромисса более подробно.

I этап. Все критерии делаются «однонаправленными», на-

пример, решаемыми на максимум. Достигается это изменением

знака на обратный в целевых функциях, соответствующих мини-

мизируемым показателям.

Получаем модель

f (x) = { f1(x); f 2 (x); ...; f s (x)}® max

при g x b i i i () £ ," .

II этап. Исходная модель решается по каждой целевой

функции в отдельности, а результаты решения сводятся в таблицу

следующего вида:

Целе-

функ-

Оптимальные

планы

Целевые функции

f1(x) f2(x) … fs(x)

f1(x) opt

X1 () opt

f1 X1 () opt

f2 X1 … () opt

f2(x) opt

X 2 () opt

f1 X2 () opt

f2 X2 … () opt

… … … … … …

fs(x) opt

X s () opt

f1 X s () opt

f2 X s … () opt

Fs – max по столбцу F1 F2 … Fs

fs – min по столбцу f1 f2 … fs

Ds = Fs – fs D1 D2 … Ds

III этап. При решении одноцелевых задач «автоматически»

отыскивается наибольшая степень достижения цели. В случае же

многоцелевой оптимизации, как уже отмечалось, степень дости-

жения абсолютного оптимума не может быть наибольшей по всем

критериям сразу, а, следовательно, возникает проблема ее измере-

ния. В абсолютном измерении степень достижения цели по пока-

зателю s может быть рассчитана по формуле (()) s s f x - f , т. е. как

степень удаления текущего значения функции от наименьшего ее

значения (от найденных субоптимальных планов). Графически это

выглядит следующим образом.

Поскольку компоненты целевой вектор-функции задаются в

различных единицах и масштабе, то для сопоставления различ-

ных степеней достижения цели при поиске компромиссного пла-

на их необходимо нормировать.

Нормирование степени достижения оптимума по критерию s

можно осуществить следующим образом:

() , 0 £ (x) £1 s

Введя функционал, формализующий понятие степени дости-

жения цели, приступим к формализации принятой схемы компро-

мисса, т. е., коль скоро невозможно достичь максимальной степе-

ни достижения цели по всем критериям сразу, зададимся целью,

чтобы наибольшей была минимальная по любому из критериев

степень достижения оптимума. Это означает, что если мы достиг-

ли максимума наихудшей степени достижения оптимума по како-

му-либо критерию, то по всем остальным критериям степень дос-

тижения цели будет не меньшей (равной или большей).

Многоцелевая модель, формализующая вышесказанное, долж-

на быть записана следующим образом:

max min s (x)

j ³ j "

() min (), .

Вводя новую переменную модели min s (x)

l = j , получим

Или в окончательном виде:

  

- D l ³ "

Полученная модель при линейности исходной модели явля-

ется также линейной с незначительным увеличением ее размер-

ности (на одну переменную и s дополнительных ограничений).

При решении многоцелевых задач у пользователя может поя-

виться желание отразить в модели неравнозначность (относитель-

ную важность) оптимизируемых целевых показателей. Сделать это

достаточно просто с помощью соответствующего вектора весовых

коэффициентов Î s

a . Модель в этом варианте будет иметь сле-

дующий вид:

  

- a D l ³ "

Однако при использовании данного подхода значительную

сложность представляет обоснование величин s

a . Надежного, на-

учно обоснованного метода их получения нет. Вся тяжесть реше-

ния этой задачи ложится на принимающего решение. При этом,

как показывают исследования, компромисс, основанный на ис-

пользовании весов s

a , очень неустойчив: «малым» изменениям от-

дельных величин могут соответствовать очень «большие» измене-

ния в результатах решения. Практически это ставит под сомнение

целесообразность «взвешивания» целевых показателей с целью

учесть в модели их относительную важность.

В то же время использование весовых коэффициентов s

весьма эффективно при практической реализации настоящей мо-

дели в режиме диалога. Действительно, при анализе текущего

компромиссного плана возможна, например, ситуация перевыпол-

нения установленных заданий по одной группе показателей и не-

довыполнения – по другой. В этом случае, последовательно

уменьшая в режиме диалога весовые коэффициенты по первой

группе показателей, целесообразно продолжить поиск рациональ-

ного решения, удовлетворяющего пользователя. Правда, при этом

необходимо помнить о высокой «неустойчивости» результатов от-

носительно весовых коэффициентов.

Контрольные вопросы.

1. Поясните понятие множество Парето.

2. В чем заключается алгоритм метода уступок?

3. Приведите примеры задач, при решении, которых необхо-

димо применять несколько критериев.

Метод главного критерия

Методы последовательной оптимизации

Недостатки свёртывания нескольких критериев заставляют искать другие подходы к решению задач многокритериального выбора. В данной лекции мы будем рассматривать методы последовательной оптимизации.

К методам последовательной оптимизации относят метод последовательных уступок и как частный случай данного метода – метод главного критерия , лексикографический критерий и метод равенства частных критериев .

Существует один, часто применяемый способ свести многокритериальную задачу к однокритериальной – это выделить один (главный, основной) критерий F 1 и стремиться его обратить в максимум (минимум), а на остальные F 2 , F 3 , . . Fm частные критерии наложить только некоторые ограничения, потребовав, чтобы они были не меньше (больше) каких-то заданных величин. Таким образом, идея метода главного критерия заключается в том, что частные критерии обычно неравнозначны между собой (одни из них более важны, чем другие) и это позволяет выделит главный критерий, а остальные (критерии) рассматривать как дополнительные, сопутствующие. Например, при оптимизации плана работы предприятия можно потребовать, чтобы прибыль была максимальна, план по ассортименту – выполнен или перевыполнен, а себестоимость продукции – не выше заданной. При таком подходе все показатели, кроме одного – главного, переводятся в разряд ограничений. Такое различие позволяет сформулировать задачу многокритериальной оптимизации как задачу нахождения условного экстремума основного (главного) критерия:

Встречаются случаи, когда пользователь готов на некоторое снижение величин более важных критериев, чтобы повысить величину менее важных. В таких ситуациях можно воспользоваться методом уступок . Идею этого метода можно изложить следующим образом.

Таким образом, оптимальным считается всякое решение, являющимся решением последней задачи из следующей последовательности задач

1) Найти F 1 min =min F 1 (X)

2) Найти F 2 min .=min F 2 (X) (1)

F 1 £ F 1 min +D 1

m) Найти F m min .=min F m (X)

F i £ F imin +D i

i=1,2, . . . ,m-1

Величины уступок выбирают в пределах инженерной точности, т.е. 5-10% от наименьшего значения критерия.

Пример. Пусть в области D={0;4} заданы два критерия F 1 (x)=(x-1) 2 +1 F 2 (x)=(x-2) 2 +2, которые нужно минимизировать (рис.1). Критерий F 1 важнее критерия F 2 (F 1 предпочтительнее F 2).

Рис.1. Графики функций F 1 и F 2

1. Согласно алгоритму минимизируем первый по важности критерий, и определяется его наименьшее значение F 1 min .Формулируем задачу оптимизации

найти min F 1 (x)= min[(x-1) 2 +1]

при ограничениях

Минимум для первого критерия достигается в точке x 1 opt =1 и равен F 1 (x 1 opt)=1

2. Затем назначается величина уступки D 1 =0.1 критерия F 1 и ищется наименьшее значение критерия F 2 при условии, что значение F 1 должно быть не больше, чем F 1 min +D 1 . Таким образом, мы получили следующую задачу оптимизации

minF 2 (x)=min[(x-2) 2 +2]

при ограничениях

(x-1) 2 +1£1+0.1

Для решения воспользуемся методом множителей Лагранжа. В результате получим безусловную задачу оптимизации

Ф(x, λ)= (x-2) 2 +2+ λ((x-1) 2 -0.1).

Находим частные производные и приравниваем их к нулю. В результате получим систему уравнений

Решая эту систему, получим x 2 opt =1.32.

Согласно алгоритму, решение, полученное на последнем этапе, и будет считаться оптимальным, т.е. x opt =1.32.

Решим данную задачу, используя систему MathCad.

f(x):=(x-2) 2 +2 целевая функция

x:=1 начальное приближение

p:=Minimize(f,x) p=1.316.

Ответ: x opt =1.32.

Зам. Метод последовательных уступок целесообразно применять для решения тех инженерных задач, в которых все частные критерии упорядочены по степени важности, причём каждый критерий настолько более важен, чем последующий, что можно ограничиться учётом только попарной связи критериев и выбирать величину допустимого снижения очередного критерия с учётом поведения лишь одного следующего критерия.

Недостатком метода являются трудности с назначением и согласованием величин уступок, возрастающие с ростом размерности векторного критерия, а также необходимость формированиянеизменного для всей задачи априорного ранжирования критериев.

Как видим, в методе уступок предполагается, что разница в важности критериев не слишком велика. Можно предположить, что величина уступок как-то связана с нашим ощущением этой разницы.