Расчет раннего начала работ в сетевом графике. Правила построения сетевой модели. Расчет сетевого графика секторным способом

• 1. Выделить критический путь и найти его длину;
• 2. Определить резервы времени каждого события;
• 3. Определить резервы времени всех работ и коэффициент напряженности работы предпоследней работы

Решение

Для решения задачи применим следующие обозначения.

Для определения резервов времени по событиям сети рассчитывают наиболее ранние t p и наиболее поздние t п сроки свершения событий. Любое событие не может наступить прежде, чем свершаться все предшествующие ему события и не будут выполнены все предшествующие работы. Поэтому ранний (или ожидаемый) срок tp(i) свершения i-ого события определяется продолжительностью максимального пути, предшествующего этому событию:

t p (i) = max(t(L ni)) (1)

где L ni - любой путь, предшествующий i-ому событию, то есть путь от исходного до i-ого события сети.

Если событие j имеет несколько предшествующих путей, а следовательно, несколько предшествующих событий i, то ранний срок свершения события j удобно находить по формуле:

t p (j) = max (2)

Задержка свершения события i по отношению к своему раннему сроку не отразится на сроке свершения завершающего события (а значит, и на сроке выполнения комплекса работ) до тех пор, пока сумма срока свершения этого события и продолжительности (длины) максимального из следующих за ним путей не превысит длины критического пути. Поэтому поздний (или предельный) срок t п (i) свершения i-ого события равен:

t п (i) = t kp - max(t(L ci)) (3)

где Lci - любой путь, следующий за i-ым событием, т.е. путь от i-ого до завершающего события сети.

Если событие i имеет несколько последующих путей, а следовательно, несколько последующих событий j, то поздний срок свершения события i удобно находить по формуле:

t п (i) = min

Резерв времени R(i) i-ого события определяется как разность между поздним и ранним сроками его свершения:

R(i) = t п (i) - t p (i)

Резерв времени события показывает, на какой допустимый период времени можно задержать наступление этого события, не вызывая при этом увеличения срока выполнения комплекса работ.

Критические события резервов времени не имеют, так как любая задержка в свершении события, лежащего на критическом пути, вызовет такую же задержку в свершении завершающего события. Таким образом, определив ранний срок наступления завершающего события сети, мы тем самым определяем длину критического пути.

При определении ранних сроков свершения событий tp(i) двигаемся по сетевому графику слева направо и используем формулы (1), (2).

Расчет сроков свершения событий.

Для i=0 (начального события), очевидно tp(0)=0.

i=1: t p (1) = t p (0) + t(0,1) = 0 + 0 = 0.

i=2: t p (2) = t p (1) + t(1,2) = 0 + 8 = 8.

i=3: t p (3) = t p (1) + t(1,3) = 0 + 3 = 3.

i=4: max(t p (2) + t(2,4);t p (3) + t(3,4)) = max(8 + 6;3 + 3) = 14.

i=5: tp(5) = tp(4) + t(4,5) = 14 + 0 = 14.

i=6: max(t p (4) + t(4,6);t p (5) + t(5,6)) = max(14 + 5;14 + 3) = 19.

i=7: t p (7) = t p (6) + t(6,7) = 19 + 9 = 28.

i=8: max(t p (2) + t(2,8);t p (6) + t(6,8);t p (7) + t(7,8)) = max(8 + 18;19 + 5;28 + 4) = 32.

i=9: max(t p (5) + t(5,9);t p (7) + t(7,9)) = max(14 + 2;28 + 4) = 32.

i=10: max(t p (4) + t(4,10);t p (7) + t(7,10);t p (9) + t(9,10)) = max(14 + 4;28 + 2;32 + 0) = 32.

i=11: max(t p (8) + t(8,11);t p (10) + t(10,11)) = max(32 + 12;32 + 4) = 44.

Длина критического пути равна раннему сроку свершения завершающего события 11: t kp =tp(11)=44

При определении поздних сроков свершения событий t п (i) двигаемся по сети в обратном направлении, то есть справа налево и используем формулы (3), (4).

Для i=11 (завершающего события) поздний срок свершения события должен равняться его раннему сроку (иначе изменится длина критического пути): t п (11)= t р (11)=44

i=10: t п (10) = t п (11) - t(10,11) = 44 - 4 = 40.

i=9: t п (9) = t п (10) - t(9,10) = 40 - 0 = 40.

Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 8.

i=8: t п (8) = t п (11) - t(8,11) = 44 - 12 = 32.

Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 7.

i=7: min(t п (8) - t(7,8);t п (9) - t(7,9);t п (10) - t(7,10)) = min(32 - 4;40 - 4;40 - 2) = 28.

i=6: min(t п (7) - t(6,7);t п (8) - t(6,8)) = min(28 - 9;32 - 5) = 19.

Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 5.

i=5: min(t п (6) - t(5,6);t п (9) - t(5,9)) = min(19 - 3;40 - 2) = 16.

i=4: min(t п (5) - t(4,5);t п (6) - t(4,6);t п (10) - t(4,10)) = min(16 - 0;19 - 5;40 - 4) = 14.

Просматриваются все строчки, начинающиеся с номера 3.

i=3: t п (3) = t п (4) - t(3,4) = 14 - 3 = 11.

i=2: min(t п (4) - t(2,4);t п (8) - t(2,8)) = min(14 - 6;32 - 18) = 8.

i=1: min(t п (2) - t(1,2);t п (3) - t(1,3)) = min(8 - 8;11 - 3) = 0.

(0,1): 0 - 0 = 0;

Таблица 1 - Расчет резерва событий

Заполнение таблицы 2.

Перечень работ и их продолжительность перенесем во вторую и третью графы. При этом работы следует записывать в графу 2 последовательно: сначала начиная с номера 0, затем с номера 1 и т.д.

Во второй графе поставим число, характеризующее количество непосредственно предшествующих работ (КПР) тому событию, с которого начинается рассматриваемая работа.

Так, для работы (1,2) в графу 1 поставим число 1, т.к. на номер 1 оканчиваются 1 работы: (0,1).

Графу 4 получаем из таблицы 1 (t p (i)). Графу 7 получаем из таблицы 1 (t п (i)).

Значения в графе 5 получаются в результате суммирования граф 3 и 4.

В графе 6 позднее начало работы определяется как разность позднего окончания этих работ и их продолжительности (из значений графы 7 вычитаются данные графы 3);

Содержимое графы 8 (полный резерв времени R(ij)) равно разности граф 6 и 4 или граф 7 и 5. Если R(ij) равен нулю, то работа является критической

Таблица 2 - Анализ сетевой модели по времени

Следует отметить, что кроме полного резерва времени работы, выделяют еще три разновидности резервов. Частный резерв времени первого вида R 1 - часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом позднего срока ее начального события. R 1 находится по формуле:

R(i,j)= R п (i,j) - R(i)

Частный резерв времени второго вида, или свободный резерв времени Rc работы (i,j) представляет собой часть полного резерва времени, на которую можно увеличить продолжительность работы, не изменив при этом раннего срока ее конечного события. Rc находится по формуле:

R(i,j)= R п (i,j) - R(j)

Значение свободного резерва времени работы указывает на расположение резервов, необходимых для оптимизации.

Независимый резерв времени Rн работы (i,j) - часть полного резерва, получаемая для случая, когда все предшествующие работы заканчиваются в поздние сроки, а все последующие начинаются в ранние сроки. Rн находится по формуле:

R(i,j)= Rп(i,j)- R(i) - R(j)

Критический путь : (0,1)(1,2)(2,4)(4,6)(6,7)(7,8)(8,11)

Продолжительность критического пути: 44

Найдем коэффициент напряженности работы предпоследней работы. Так как длина критического пути 44, максимальный путь, проходящий через работу (1,10) равен 32, тогда

К(1,10)=(32-28)/(44-28)=0,296.

4. Интернет-провайдер в небольшом городе имеет 5 выделенных каналов обслуживания. В среднем на обслуживание одного клиента уходит 25 минут. В систему в среднем поступает 6 акзаов в час. Если свобдных каналов нет, следует отказ. Определить характеристики обслуживания: вероятность отказа, среднее число занятых обслуживанием линий связи, абсолютную и относительную пропускные способности, вероятность обслуживания. Найти число выделенных каналов, при котором относительная пропускная способность системы будет не менее 0,95. Считать, что потоки заявок и обслуживаний простейшие

Интенсивность потока обслуживания:

Интенсивность нагрузки:

с = л * t обс = 6 * 25/60 = 2.5

Интенсивность нагрузки с=2.5 показывает степень согласованности входного и выходного потоков заявок канала обслуживания и определяет устойчивость системы массового обслуживания.

Вероятность того, что обслуживанием:

занят 1 канал:

p 1 = с 1 /1! p 0 = 2.5 1 /1! * 0.0857 = 0.214

заняты 2 канала:

p 2 = с 2 /2! p 0 = 2.5 2 /2! * 0.0857 = 0.268

заняты 3 канала:

p 3 = с 3 /3! p 0 = 2.5 3 /3! * 0.0857 = 0.223

заняты 4 канала:

p 4 = с 4 /4! p 0 = 2.5 4 /4! * 0.0857 = 0.139

заняты 5 канала:

p 5 = с 5 /5! p 0 = 2.5 5 /5! * 0.0857 = 0.0697

Вероятность отказа- это доля заявок, получивших отказ:

Значит, 7% из числа поступивших заявок не принимаются к обслуживанию.

Вероятность обслуживания поступающих заявок -вероятность того, что клиент будет обслужен:

В системах с отказами события отказа и обслуживания составляют полную группу событий, поэтому:

p отк + p обс = 1

Относительная пропускная способность Q = p обс .

p обс = 1 - p отк = 1 - 0.0697 = 0.93

Следовательно, 93% из числа поступивших заявок будут обслужены. Среднее число каналов, занятых обслуживанием

n з = с * p обс = 2.5 * 0.93 = 2.326 канала.

Среднее число простаивающих каналов .

n пр = n - n з = 5 - 2.326 = 2.7 канала.

Коэффициент занятости каналов обслуживанием .

Следовательно, система на 50% занята обслуживанием.

Абсолютная пропускная способность

A = pобс * л = 0.93 * 6 = 5.581 заявок/час.

Среднее время простоя СМО .

t пр = p отк * t обс = 0.0697 * 0.417 = 0.029 час.

Среднее число обслуживаемых заявок .

L обс = с * Q = 2.5 * 0.93 = 2.326 ед.

Среднее время пребывания заявки в СМО (формула Литтла).

Число заявок, получивших отказ в течение часа: л * p 1 = 0.418 заявок в час.

Номинальная производительность СМО: 5 / 0.417 = 12.002 заявок в час.

Фактическая производительность СМО: 5.581 / 12.002 = 47% от номинальной производительности.

Определим количество каналов, необходимых для обеспечения работоспособности системы с вероятностью P ? 0.95

Для этого находим n из условия:

Найдем вероятность того, что если в системе будет 6 каналов и все они будут заняты:

Рис. 40 Сетевая модель к расчету параметров табличным методом

Таблица 2

Методика ручного расчета сетевого графика в табличной форме (табл. 2) заключается в следующем.

1. Нумеруем (кодируем) события, соблюдая правило: номер предшествующего события должен быть меньше номера последующего.

2. Заполняем первые три графы таблицы, в которые заносятся исходные данные по каждой работе - номера начальных событий предшествующих работ (графа 1), код работ (графа 2), продолжительность работы (графа 3). Заполнение следует начинать с графы 2. При этом следует придерживаться правила: в графу 2 нужно сначала записать все работы, выходящие из исходного события в порядке возрастания номеров, а затем записать продолжительность работ в графу 3. В графе 1 ставим прочерки для работ, выходящих из исходного события сетевого графика, так как они не имеют предшествующих работ. Закончив запись работ, выходящих из исходного события, переходим к работам, выходящим из второго и последующих событий в порядке их возрастания.

3. Определяем ранние сроки начала и окончания работ. Заполняем построчно графы 4, 5. Расчет ведем от исходных к завершающим событиям. Для исходного события сетевого графика ранние сроки начала работ принимаем равными нулю, а окончания работ их - продолжительности.

Если работе ij предшествует только одна работа hi, то раннее окончание работы hi равно раннему началу работы ij. Раннее начало рассматриваемой работы равно раннему окончанию предыдущей работы.

При рассмотрении сложного события, когда ему предшествуют две и более работ, раннее начало рассматриваемой работы равно наибольшему значению из ранних окончаний предшествующих работ.

4. Рассчитываем поздние параметры работ - позднее начало и позднее окончание и записываем построчно результаты в графы 6, 7. Расчет ведем в обратном порядке - от завершающих работ до исходной снизу вверх. Сначала по каждой строке определяем поздние окончания работ (графа 7), затем поздние начала работ (графа 6). Для простого события, из которого выходит только одна работа, позднее окончание предшествующей работы равно позднему началу рассматриваемой работы. Позднее начало данной работы равно разности между се поздним окончанием и продолжительностью.

Для сложного события, из которого выходит несколько работ, позднее окончание предшествующих работ равно меньшему из поздних начал рассматриваемых работ. При правильном расчете позднее начало исходной работы должно быть равно нулю.

5. Определяем полный резерв времени. Полный резерв времени по каждой строке определяется при сопоставлении граф 6, 4 или 7, 5, как разность позднего и раннего начал или позднего и раннего окончаний работ. Результат записываем в графу 8.

6. Определяем частный резерв времени по каждой работе как разность между ранним началом последующей работы по графе 4 и ранним окончанием данной работы по графе 5. Результат записываем в графу 9.

Работы не имеющие общего резерва, не имеют и частного резерва, поэтому в графе 9 должен быть всюду О, где 0 имеется в графе 8.

С помощью данной программы можно онлайн определить параметры сетевого графика (рассчитать сроки свершения событий, резервы времени и критический путь), найти коэффициенты напряженности. Оптимизация сетевого графика проводится по следующим критериям: число исполнителей, резервы-затраты, сокращение сроков.
Сетевой график можно нарисовать, а также задать в виде матрицы или таблицы (меню Операции).

Размеры графического полотна

Ширина Высота

● ■ ▲ ⊗ ↔ ✍ ⊗

Для сформированного графа можно выполнить следующее действия:

Инструкция к сервису

Для добавления вершины на графическое полотно необходимо использовать соответствующую фигуре кнопку Добавить. Новый объект также можно вставить, предварительно выделив его левой кнопкой мыши, а затем щелкнуть мышкой на рабочем поле. Нумерация вершин может начинаться с 0 , для этого нужно снять отметку с пункта Нумерация вершин с №1 .
1 2 3 4 1 10 30 15
Нумерация вершин с 0
0 1 2 3 1 10 30 15
Чтобы соединить вершины, их необходимо предварительно выбрать (один клик мыши по объекту), а затем нажать на кнопку Соединить.
Сетевая модель может быть представлена в табличной форме и в виде матрицы весов (матрицы расстояний). Чтобы использовать данные представления, выберите меню Операции.

Основные определения

• «действительная работа» – процесс, требующий затрат времени и ресурсов;
• «фиктивная работа» – логическая связь между двумя или несколькими работами, указывающая на то, что начало одной работы зависит от результатов другой. Фиктивная работа не требует затрат времени и ресурсов, продолжительность ее равна нулю.

На сетевой модели событиям соответствуют вершины графа.

Правила построения сетевой модели

Правило 2 . Ни одна пара операций не должна определяться одинаковыми начальным и конечным событиями. Возможность неоднозначного определения операций через события появляется в случае, когда две или большее число операций допустимо выполнять одновременно.

Правило 3 . При включении каждой операции в сетевую модель для обеспечения правильного упорядочения необходимо дать ответы на следующие вопросы:
а) Какие операции необходимо завершить непосредственно перед началом рассматриваемой операции?
б) Какие операции должны непосредственно следовать после завершения данной операции?
в) Какие операции могут выполняться одновременно с рассматриваемой?

При построении сетевого графика следует соблюдать следующие правила:

• в сети не должно быть "тупиков", т.е., событий, от которых не начинается ни одна работа, исключая завершающее событие графика;
• В сетевом графике не должно быть «хвостовых» событий, то есть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа, за исключением исходного.
• в сети не должно быть замкнутых контуров (рис.1);
• Любые два события должны быть непосредственно связаны не более чем одной работой.
• В сети рекомендуется иметь одно исходное и одно завершающее событие.
• Сетевой график должен быть упорядочен. То есть события и работы должны располагаться так, чтобы для любой работы предшествующее ей событие было расположено левее и имело меньший номер по сравнению с завершающим эту работу событием.

Методы оптимизации сетевого графика

Для возможности оптимизации сетевой модели, все исходные данные вводятся в виде таблицы (Операции/Добавить в виде таблицы).

• Оптимизация сетевой модели по критерию "число исполнителей". Заполняется столбец Количество исполнителей Ч
• Оптимизация сетевой модели по критерию "затраты". Заполняется столбец Коэффициент затрат на ускорение работ, h(i,j) .
• Оптимизация сетевого графика методом "время – стоимость". Заполняются столбцы t опт, Минимальное время работ, t min , Нормальная стоимость, Cн и Срочная стоимость, Cc .

Примеры сетевых моделей

Список литературы

1. Мушик Э., Мюллер П. Методы принятия технических решений. Пер. с нем. –М.: Мир, 1990.
2. Таха Х. Введение в исследование операций. В 2-х книгах. Кн. 2. Пер. с англ. –М.: мир, 1985.
3. Управление в системах РАВ: Учебник. –Л.: Воениздат, 1980.

Свойства вершины

Текст

Размер Цвет

Толщина Цвет

w h

Отмена

Соединение (дуга)

Текст (вес)

Размер Цвет

Толщина Цвет

Расчет и анализ сетевых графиков

Основные понятия и определения

1.1. Сетевое планирование и управление (СПУ) - это система планирования комплекса работ, ориентированная на достижение конечной цели. СПУ основано на графическом изображении определенного комплекса работ, отражающих их логическую последовательность, взаимосвязь и длительность, с последующей оптимизацией разработанного графика при помощи методов прикладной математики и вычислительной техники и его использованием для текущего руководства этими работами.

Объектом управления в системе СПУ является коллектив людей, располагающий определенными ресурсами (людскими, материальными, финансовыми и др.) и выполняющий определенный комплекс работ (проект), призванный обеспечить достижение намеченной цели.

1.2. Сетевой график (сетевая модель или просто сеть) - это модель всего процесса выполнения данного комплекса робот, изображенная в виде ориентированного графа и отражающая взаимосвязь и параметры всех работ.

1.3. Работа - это трудовой процесс, приводящий к некоторому результату и требующий затрат времени и ресурсов. Работой считают и ожидание.

Ожидание - работа не требующая затрат труда (и других ресурсов), но требующая затрат времени.

Работа на сетевом графике обозначается сплошной линией со стрелкой.

Продолжительность работы указывается числом над стрелкой. Единицей измерения продолжительности работ может быть день, неделя, декада, месяц. Длина стрелки выбирается произвольно. Она не отражает продолжительности работы. Работа обозначается шифрами начального и конечного события (ij ). Продолжительность работы tij .

Зависимость или фиктивная работа - логическая связь между двумя или несколькими событиями, не требующими затрат ни времени, ни ресурсов. На графике фиктивная работа обозначается пунктирной стрелкой.

1.4. Событие - это результат свершения одной или нескольких работ, дающий возможность начать одну либо несколько следующих работ. Событие не имеет продолжительности по времени, оно означает лишь факт свершения какой-то работы. Событие на графике изображается кружком (i ), внутри которого, указывается номер его. Событие, за которым следует работа, называется начальным (обозначается индексом – i ), а которому предшествует робота - конечным (j ). В сети существует одно исходное событие (J ) и одно завершающее – (С).

I.5. Путь - это любая последовательность робот сетевой модели, в которой конечное событие каждой работы совпадает с начальным событием следующей за ней. Путь обозначается индексом (L ). Продолжительность пути определяется суммой продолжительностей вводящих в данный путь, работ и обозначается t(L ). Различают путь полный (L (J - C )), т. е. путь от исходного со­бытия до завершающего, и путь от любого события до другого L (m 1 - m 2).

Критический путь - это полный путь, обладающий максимальной продолжительностью из всех возможных на данном графике – L кр. В сетевом графике может быть несколько критических путей. Критический путь определяет срок выполнения данного комплекса работ (проекта в целом).

По построенной сетевой модели для каждой работы определяется ожидаемая продолжительность ее выполнения - t ож, а также дисперсия времени выполнения работы - .

В системе СПУ применяются два способа определения времени выполнения работ. В том случае, если работа часто повторяется (то есть имеются некоторые нормативные данные о ее продолжительности), или имеет достаточно близкий прототип, то продолжительность работы определяется однозначно (сети с детерминированными оценками). Но для большинства работ, выполняющихся впервые (например, научно-исследовательских, экспериментальных, опытно-конструкторских) этого сделать нельзя. В этом случае продолжительность выполнения работ носит неопределенный характер и для оценки времени ее выполнения применяют методы математической статистики. Продолжительность работы считается случайной величиной, подчиненной определенному закону распределения и ожидаемое время ее выполнения (а также и дисперсия) рассчитывается по определенным аппроксимирующим формулам на основании экспертных оценок, полученных от ответственных исполнителей работ.

Рассчитанная таким образом продолжительность выполнения работы представляет собой, с известным приближением, математическое ожидание времени ее выполнения, как случайной величины, подчиненной принятому закону ее распределения.

В практике СПУ наиболее широкое применение получили следующие формулы для определения ожидаемой продолжительности работы и дисперсии времени ее выполнения.

Ниже приведены три разновидности этих формул, которые соответствуют вариантам индивидуальных заданий:

1-й способ ; ;

2-й способ ; ;

3-й способ ; .

Для расчета по этим формулам от ответственных исполнителей получают путем опроса следующие экспертные оценки времени выполнения работ:

а (или tmin ) - минимальная (оптимистическая) продолжительность работы, т. е. оценка продолжительности работы в предположении наиболее благоприятного стечения обстоятельств;

b (или tmax ) - максимальная (пессимистическая) продолжительность работы, т. е. продолжительность работы в предположении наиболее неблагоприятного стечения обстоятельств;

m (или t н. в.) - наиболее вероятная оценка продолжительности работы - оценка продолжительности при наиболее часто встречающихся условиях выполнения работы.

Расчет параметров сетевого графика

Параметрами сетевого графика называются величины, характеризующие положение работ и событий, которые дают возможность проанализировать состояние работ и принять необходимые решения. Исходными для определения всех временных параметров сетевых моделей служит продолжительность работы (tij). На основании продолжительности работ в сетевом графике определяются его временные параметры, основными из них являются следующие.

1. Продолжительность пути

,

где К - количество работ, входящих в данный путь.

Таким образом, продолжительность пути это суммарная продолжительность работ, составляющих данный путь.

Продолжительность критического пути

Ткр = t [L (J -C )max ] .

Продолжительность критического пути определяет срок наступления завершающего события сети, то есть определяет срок выполнения проекта (планируемого комплекса работ) в целом.

2. Резерв времени пути - это разность между продолжительностью критического и данного пути. Он показывает, на сколько в сумме могут быть увеличены продолжительности работ, принадлежащих данному пути, не изменяя срока выполнения проектов

R (L ) = Tкр - t (L ) .

3. Ранний срок свершения события - срок, необходимый для выполнения всех работ, предшествующих данному событию i

Тр(i ) = t [L (J -i )max ] или Тр(j ) = max .

Ранний срок исходного события сети принимается равным нулю: Тр(J ) = 0 .

4. Поздний срок свершения события - это наиболее поздний из допустимых сроков свершения события, превышение которого на какую-то величину вызывает аналогичную задержку наступления завершающего события

Тп(i ) = Tкр - t [(i -C )max ] или Тп(i ) = [Тп(j )-tij ]min .

Поздний срок завершающего события равен его раннему сроку Тп(С )=Тр(С ), это же имеет место и для событий, лежащих на критическом пути Тр(i ) = Тп(i ).

5. Резерв времени свершения события - это такой предельно допустимый срок, на который можно задерживать свершение данного события, не вызывая при этом увеличения продолжительности критического пути (то есть не изменяя срока свершения завершающего события), то есть всего проекта в целом.

У событий, лежащих на критическом пути, резервов времени не существует. Резерв времени события определяется следующим образом:

R (i ) = Tп(i ) - Tp(i ) = R (Lmax ) .

Резерв времени события равен резерву времени максимального из путей, проходящих через данное событие.

6. Ранний срок начала работы - это самый ранний из возможных сроков начала работы: t р. н.(ij ) = Tp(i ) .

7. Ранний срок окончания работы - это самый ранний из возможных сроков окончания работы

t р. о.(ij ) = t р. н.(ij ) + tij = Tp(i ) + tij .

8. Поздний срок начала работы - самый поздний срок начала работы, при котором не увеличивается продолжительность критического пути, т. е. срок окончания проекта в целом

t п. н.(ij ) = t п. о.(ij ) - tij = Tп(j ) - tij .

9. Поздний срок окончания работы - самый поздний срок окончания работы, при котором не увеличивается продолжительность критического пути, то е. сть срок окончания проекта

t п. о.(ij ) = Tп(j ) .

Для работ критического пути:

t р. н.(ij ) = t п. н.(ij ) и t р. о.(ij ) = t п. о.(ij ) .

10. Полный резерв времени работы - это величина резерва времени максимального из путей, проходящих через данную работу. Он равен разности между поздним сроком наступления события и ранним сроком наступления события за вычетом продолжительности работы

R п(ij ) = Tп(j ) - Tp(i ) - tij .

Полный резерв времени работы показывает, на сколько может быть увеличена продолжительность отдельной работы или отсрочено ее начало, чтобы продолжительность проходящего через нее максимального пути не превысила продолжительности критического пути (то есть, чтобы не изменился срок выполнения проекта в целом).

Использование полного резерва целиком на данной работе отнимает все полные резервы времени у работ, лежащих на всех путях, которые проходят через данную работу.

Полный резерв времени работ критического пути равен нулю, а для остальных работ он положителен.

11. Свободный резерв времени работы - равен разности между ранними сроками наступления событий j и i за вычетом продолжительности работы (ij ):

R c(ij ) = Tp(j ) - Tp(i ) - tij .

Свободный резерв представляет собой часть полного резерва времени работы. Он указывает максимальное время, на которое можно увеличить продолжительность отдельной работы, или отсрочить ее начало, не меняя ранних сроков начала последующих работ, при условии, что непосредственно предшествующее событие наступило в свой ранний срок.

В качестве плановых сроков начала работ берутся при этом ранние сроки наступления событий. Сводный резерв времени является в определенном смысле независимым резервом, то есть использование его на одной из работ не меняет величины свободных резервов времени остальных работ сети.

3.12. Коэффициент напряженности работы используется в сетевом планировании для характеристики напряженности сроков выполнения работ и определяется по следующей формуле:

,

где t (Lmax ) - продолжительность максимального пути, проходящего через данную работу;

t ¢(L кр) - продолжительность отрезка пути t (Lmax ), совпадающего с критическим путем.

С помощью коэффициента напряженности получают оценку напряженности работ, лежащих на путях равной продолжительности и обладающих одинаковыми резервами времени.

Величина коэффициента напряженности у разных работ в сети лежит в пределах 0 £ Кн(ij ) £ i .

Для всех работ критического пути Кн(ij ) = 1.

Величина коэффициента напряженности помогает при установлении плановых сроков выполнения работ оценить, насколько свободно можно располагать имеющимися резервами времени. Этот коэффициент дает исполнителям работ предоставления степени срочности работ и позволяет установить очередность их выполнения, если она не определяется технологическими связями работ.

Способы расчета параметров сетевых графиков

Существует два способа ручного расчета параметров сетевых графиков (причем, в литературе по СПУ встречаются различные разновидности данных способов): непосредственно на графике; табличный способ.

1. Первый способ (расчет параметров непосредственно на графике) предусматривает определение, как правило, следующих параметров, ранних сроков свершения событий, поздних сроков свершения событий, резервов времени свершения событий и критического пути. При расчете по этому способу кружок, изображающий событие, делится на четыре сектора. Верхний сектор отводится для номера события - i , левый сектор для раннего срока свершения события Тр(i ), правый для позднего срока свершения события Тп(i ), а нижний сектор для резерва времени свершения события - R (i )

Расчет параметров производится на основании приведенных выше определений и формул (логических соотношений) по определенным правилам. Расчет начинается с определения ранних сроков свершения событий - Tp(i ). Определение Tp(i ) начинается с исходного события и далее через последующие события к завершающему (то есть расчет ведется слева направо), руководствуясь следующим общим правилом для определения ранних сроков событий.

Ранний срок свершения события j определяется путем прибавления к раннему сроку предшествующего ему события i продолжительности работы, ведущей к событию j . В том случае, если в событие j входит несколько работ, нужно определить ранний срок по каждой из этих работ и из них выбрать максимальный, который и будет ранним сроком свершения события j . Для исходного события J ранний срок его свершения принимается равным нулю.

Tp(J ) = 0 .

Определение поздних сроков свершения событий производится в обратном порядке, то есть справа налево, то есть от завершающего события к исходному. При определении поздних сроков принимается, что для завершающего события ранний срок его свершения является одновременно и наиболее поздним.

Тр(С ) = Тп(С ) .

Поздний срок свершения события j определяется путем вычитания из позднего срока предшествующего ему события i продолжительности работы, ведущей к этому событию j .

В случае, если к событию j подходит несколько работ, то определяется величина позднего срока по каждой из этих работ и из них выбирается минимальная, которая и будет определять поздний срок свершения данного события.

Резерв времени события i определяется непосредственно на сети путем вычитания из величины, записанной в правом секторе события Тп(i ) величины, записанной в левом секторе - Тр(i ). Найденная величина и является резервом времени свершения события и записывается в нижнем секторе события.

Все события в сети, за исключением событий, принадлежащих критическому пути, имеют резерв времени. Критический путь определится в результате выявления всех последовательно лежащих событий с резервами, равными нулю, а его продолжительность величиной позднего (тоже самое раннего) срока свершения завершающего события.

На рис. 1 приведен расчет сети непосредственно на графике.

Рис. 1. Расчет параметров сетевого графика

2. При табличном способе расчета определяются, как правило, параметры, относящиеся к работам, а именно: ранние и поздние сроки начал и окончаний работ, резервы времени работ. Расчет параметров в этом случае производится в таблице по определенной форме. Пример такого расчета для сетевого графика, изображенного на рис. 1, показан в нижеприводимой табл. 1.

Расчет табличным способом может производиться либо только на основании формул и сетевого графика с параметрами событий, либо по определенным правилам (алгоритмам). В последнем случае состав параметров и последовательность их расположения может быть иной. Расчет по таким алгоритмам излагается в литературе (см. список литературы).

Таблица 1

Расчет параметров работ сетевого графика

Анализ и оптимизация сетевого графика

После расчета параметров сетевого графика производится его анализ, и в нужных случаях, его оптимизация. Задачами анализа является пересмотр структуры сети с целью определения возможности увеличения числа параллельно выполняемых работ, определение коэффициентов напряженности работ, что позволяет наряду с расчетом резервов времени работ и путей, распределить все работы по зонам (критическая, подкритическая и резервная). Важной задачей анализа сетевого графика является определение вероятности свершения завершающего события в заданный срок.

Заданный срок свершения завершающего события (то есть директивный срок выполнения проекта) Тд может отличаться от расчетного Ткр, полученного на основе критического пути, но, несмотря на это (в силу того, что ожидаемые продолжительности работ определялись как случайные величины) сохраняется определенная вероятность, что завершающее событие наступит в заданный директивный срок или раньше его. При определении этой вероятности принимается, что продолжительность выполнения проекта (то есть величина критического пути) является случайной величиной, подчиняющейся нормальному закону распределения.

Аналитическая вероятность того, что завершающее событие наступит в заданный (директивный) срок или ранее него, определяется следующим образом:

,

где - соответствующее значение функции Ф(Z ), взятое из таблицы нормального распределения; Z - аргумент нормальной функции распределения вероятности.

Среднее квадратичное отклонение срока наступления завершающего события определяется по формуле:

,

где ij кр - последовательность работ, лежащих на критическом пути;

К - количество работ, составляющих критический путь;

Дисперсия работы, лежащей на критическом пути.

Пример. Для графика, изображенного на рис. 1, определить вероятность выполнения проекта в заданный директивный срок, равный 8 ед. времени. Ранее было определено, что расчетный срок выполнения проекта составляет Ткр = 9 ед. Предположим, что также определены и дисперсии работ, составляющих критический путь, пусть например:

тогда и .

Пользуясь таблицей значений функции Лапласа по величине Z = - 1,7 (см. табл. 2), находим искомую вероятность РК » 0,045.

Вывод. При планировании в системах СПУ принято, что если:

0,85 < РК < 0,65 - то это считается границами допустимого риска (то есть считается нормальным положением); при РК < 0,85 - то считается, что опасность нарушения заданного срока очень большая (неприемлема) и необходимо в этом случае и произвести повторное планирование с перераспределением ресурсов с целью минимизации срока выполнения проекта; при РК > 0,65 - считается вероятность слишком велика, то есть на работах критического пути имеются избыточные ресурсы. В этом случае тоже производят повторное планирование с целью сокращения потребных ресурсов.

При невозможности достижения удовлетворительного значения РК может потребоваться изменение заданного срока выполнения проекта. Эта задача решается как обратная рассмотренной выше. Задаваясь желаемой величиной вероятности РК свершения завершающего события в заданный срок, можно из вышеприведенного уравнения определить значение функции , и, зная величины Ткр и , определить величину Тд.

После анализа сетевого графика в необходимых случаях проводится его оптимизация. Она необходима для обеспечения большей надежности свершения завершающего события в заданный срок, для выравнивания загрузки работников, лучшего распределения ресурсов и т. д. Оптимизация графика во времени (то есть достижение минимального срока выполнения проекта при заданных ресурсах) производится путем переброски ресурсов с некритических путей, имеющих резервы времени, на критический путь, что приводит к сокращению его продолжительности. В пределе продолжительности всех полных путей могут быть равны и являются критическими и тогда все работы ведутся с одинаковым напряжением, а общий срок выполнения проекта существенно сократится.

Таблица 2

Таблица значений функции Лапласа Рк = Ф (Z )

Сети или сетевые модели имеют широкое практическое применение. Из всего разнообразия методов и моделей рассмотрим здесь лишь метод критического пути (МКП). Сеть в этом случае – это графическое отображение комплекса работ. Основными элементами сети здесь являются события и работы.
Событие – это момент завершения процесса, отображающий отдельный этап выполнения проекта. Комплекс работ начинается с исходного и заканчивается завершающим событием.
Работа – это протяжённый во времени процесс, необходимый для свершения события и, как правило, требующий затрат ресурсов.
События на сетевом графике обычно изображаются кружками, а работы – дугами, соединяющими события. Событие может свершиться только тогда, когда закончатся все работы, ему предшествующие.
В сетевом графике не должно быть "тупиковых" событий, за исключением завершающего, не должно быть событий, которым не предшествует хотя бы одна работа (кроме исходного), не должно быть замкнутых контуров и петель, а также параллельных работ.
Рассмотрение основных понятий и положений МКП будем вести на основе следующего примера. Пусть задана следующая последова­тельность работ с их временными характеристиками: Построим сетевой график так, чтобы все дуги работы были
направлены слева направо (рис.2). Над дугами проставлены длительности работ.

Рис. 2. Сетевой график примера

Критический путь представляет собой путь от начальной до конечной работы, имеющий наибольшую длительность. Любое замедление в выполнении работ критического пути неизбежно приведёт к срыву выполнения всего комплекса работ, поэтому критическому пути и уделяется столько внимания.
Рассмотрим основные понятия, связанные с критическим путём .
Ранний срок наступления события (ЕТ). Он определяется для каждого события при движении по сети слева направо от начального к конечному событию. Для начального события ЕТ = 0. Для других определяется по формуле, где ЕТ 1 – ранний срок наступления события i, предшествующего событию j; t ij – продолжительность работы (ij).

Поздний срок наступления события (LТ) – это наиболее позд­ний срок, в который может наступить событие без задержки выполнения всего комплекса работ. Определяется он при движении по сети справа нале­во от конечного события к начальному по формуле:

Для критического пути ранние и поздние сроки наступления событий совпадают. Для конечного события эта величина равна длине критического пути. Расчёт показателей сетевого графика можно производить непосредственно по вышеприведённым формулам. Сначала надо найти ранние сроки наступления событий (при движении по сети слева направо, от начала к концу), (остальное выполнить самостоятельно).

Затем расчёты выполнить в обратном направлении и найти поздние сроки наступления событий.
Положить ЕТ 10 = LT 10 . LT 9 = LT 10 – t 9,10 = 51 –11 = 40.
LT 8 = LT 10 – t 89 = 51 – 9 = 42, и т.д.
Возможен и другой способ вычисления показателей – табличный.
События отмечаются в квадратах "главной" диагонали. Работы отмечаются дважды в верхних и нижних "побочных" квадратах отно­сительно главной диагонали таблицы. В верхних "побочных" квад­ратах таблицы номер строки соответствует предыдущему событию, номер столбца – последующему. В нижних "побочных" квадратах на­оборот.
Порядок заполнения таблицы

1. Сначала заполняются числители верхних и нижних побочных квадратов. В них записываются продолжительности соответствующих работ.
2. Заполняются знаменатели верхних "побочных" квадратов как суммы числителя главного квадрата и числителя верхнего "по­бочного" в той же строке.
3. Числитель первого главного квадрата принимается равным нулю, числители остальных главных квадратов равны максимуму знаменателей верхних "побочных" квадратов в том же столбце.
4. Знаменатель последнего главного квадрата принимается равным числителю этого квадрата. Знаменатели нижних "побочных" квадратов равны разности знаменателя главного и числителя "ниж­него" побочного в той же строке.
5. Знаменатели главных квадратов равны минимуму знаменате­лей "нижних" побочных в том же столбце.
Расчёт показателей сетевого графика

6. Общие резервы времени работ (разность между знаменателем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" в том же столбце).
7. Свободные резервы времени работ (разность между числите­лем главного квадрата и знаменателем верхнего "побочного" квадра­та в том же столбце).

Воспроизведём график сети, проставив над каждым событием слева – ранний, а справа – поздний сроки наступления события (рис.3).

Рис. 3. Сетевой график с временными характеристиками

TS ij = LT j – ET i – t ij

FS ij = ET j – ET i – t ij

Задачи для контрольных заданий №4