Мультипликативные модели примеры с факторами. Экономико-математические методы и модели анализа. Способ относительных разниц

1. Факторная модель: Р = Z ´ N.

Тип модели: двухфакторная мультипликативная.

2. Способы факторного детерминированного анализа, применяемые для решения задач подобного типа:

Цепной подстановки;

Абсолютных разниц;

Простого прибавления неразложимого остатка;

Взвешенных конечных разниц;

Логарифмический;

Интегральный.

3. Аналитическая таблица для решения:

4. Расчет влияния факторов.

4.1. Применение способа цепной подстановки:

а) Р 1 = N 0 ´ Z 0 = 195 ´ 0,12 = 23,4 (т);

б) Р 2 = N 1 ´ Z 0 = 205 ´ 0,12 = 24,6 (т);

в) Р(N) = Р 2 – Р 1 = 24,6 – 23,4 = + 1,2 (т);

г) Р 3 = 205 ´ 0,11 = 22,55 (т);

д) Р(Z) = Р 3 – Р 2 = 22.55 – 24,6 = -2,05 (т);

е) Р = Р (N) + Р (Z) = 1,2 –2,05 = -0,85 (т).

4.2. Применение способа абсолютных разниц:

а) Р(N) = N ´ Z 0 = +10 ´ 0,12 = 1,2 (т);

б) Р( Z) = Z ´ N 1 = -0,01 ´ 205 = -2,05 (т);

в) Р = Р (N) + Р (Z) = 1,2 –2,05 = --0,85 (т).

4.3. Применение способа относительных разниц:

а) Р(Z) = (т);

б) Р(N) = (т);

в) Р (Z) + Р (N) = -1,94+1,09= --0,85 (т).

Совокупное влияние факторов рассчитанных способом цепной подстановки и абсолютных разниц:

4.4. Применение способа простого прибавления неразложимого остатка:

а) неразложимый остаток: N ´ Z = -0,01 ´ 10 = -0,1 (т);

б) Р 1 (N) = N ´ Z 0 + = 1,2 + (--0,1) = 1,15(т);

в) Р(Z) = Z ´ N 1 - = -2,05 - (-0,1) = -2 (т);

г) Р = Р (N) + Р (Z) =-0,85 (т).

4.5. Применение способа взвешенных конечных разностей:

а) Р(N) 1 = N ´ Z 0 = 1,2;

Р(N) 2 = N ´ Z 1 =+10 ´ 0,11 = 1,1 (т);

б) Р(Z) 1 = Z ´ N 0 = --0,01 ´ 195 = -1,95 (т);

Р(Z) 2 = Z ´ N 1 = - 0,01´ 205 =-2,05 (т);

Применение логарифмического способа

в) К N + К Z = -1,35+2,35 =1 ;

(-1,35)= +1,15;

(2,35)= -2;

Общее влияние +1,15 – 2 = - 0, 85.

Применение интегрального способа

а) (т)

б) (т)

Совокупное влияние факторов, рассчитанное способом взвешенных конечных разниц, простого прибавления неразложимого остатка, логарифмического и интегрального.

Применение указанных способов дает возможность получить уточненный результат расчетов.

5) Вывод: норма расхода сырья снизилась на 0,85 т при увеличении выпуска продукции, что потребовало дополнительного использования сырья в размере 1,15 т.

Снижение нормы расходы сырья способствовало экономии сырьевых ресурсов в размере 2,0 т. Влияние снижения нормы расходы превышает влияние увеличения производственной программы в 1,71 раза – удельный вес влияния нормы расхода превышает удельный вес влияния производственной программы в 1,73 раза ().

Более сильное влияние снижения нормы расхода по сравнению с увеличением используемого сырья в результате увеличения выпуска продукции явилось фактором экономии сырья в размере 0,85 т.

Примечание : Специфика данной ситуации в том, что знак «минус» влияния фактора – норма расхода не означает его отрицательного влияния на результирующий показатель, т.к. снижение расхода материальных ресурсов при увеличении производственной программы является показателем интенсивного развития производства.

ЗАДАЧИ

для самостоятельного решения

18. На основе приведенных данных:

Составить факторную модель зависимости расхода сырья от нормы расхода и производственной программы;

Сделать вывод.

19. Способом цепной подстановки и методом абсолютных разниц провести анализ расходов на инкассацию выручки.

21. Проанализировать всеми возможными способами влияния на товарооборот выработки и численности работников.

22. Проанализировать всеми возможными способами влияние на товарооборот площади торгового зала и нагрузки на 1 кв.м площади.

23 . Составить факторную модель зависимости товарооборота от среднего остатка оборотных средств и их оборачиваемости.

24. Составить факторную модель зависимости выпуска продукции от фондоотдачи и средней стоимости основных средств.

25. . Составить факторную модель зависимости рентабельности капитала от рентабельности продаж и коэффициента оборачиваемости капитала.

Определить влияние рентабельности продаж и коэффициента оборачиваемости капитала на рентабельность капитала всеми возможными способами.

26 . Составить и решить всеми возможными способами факторную модель зависимости фонда заработной платы от численности персонала и средней заработной платы одного работника.

27 . Определить влияние изменений в составе основных фондов и фондоотдачи активной части основных фондов на фондооотдачу основных фондов, используя следующую модель:

где - фондоотдача активной части основных фондов;

Доля активной части основных фондов в стоимости основных фондов.

РЕЗУЛЬТАТЫ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ

Детерминированный факторный анализ – это методика исследования влияния факторов, связь которых с результативным показателем носит функциональный характер, т.е. когда результативный показатель представлен в виде произведения, частного или алгебраической суммы факторов.

При моделировании детерминированных факторных систем необходимо выполнять ряд требований:

1. Факторы, включаемые в модель, и сами модели должны иметь определенно выраженный характер, реально существовать, а не быть придуманными абстрактными величинами или явлениями.

2. Факторы, которые входят в систему, должны быть не только необходимыми элементами формулы, но и находиться в причинно-следственной связи с изучаемыми показателями.

3. Каждые показатели факторной модели должны быть количественно измеримыми, т.е. должны иметь единицу измерения и необходимую информационную обеспеченность.

4. Факторная модель должна обеспечивать возможность измерения влияния отдельных факторов, это означает, что в ней должна учитываться соразмерность измерений результативного и факторных показателей, а сумма влияния отдельных факторов должна равняться общему приросту результативного показателя.

Типы факторных моделей встречающихся в детерминированном анализе:

Аддитивные модели, используются в случаях, когда результативный показатель представляет собой алгебраическую сумму нескольких факторных показателей;

Мультипликативные модели, применяются, когда результативный показатель представляет собой произведение нескольких факторов;

Кратные модели, применяются, когда результативный показатель получают делением одного факторного показателя на величину другого;

Смешанные (комбинированные) модели – сочетание в различных комбинациях предыдущих моделей.

Основные приемы детерминированного факторного анализа и сфера их применения систематизированы в виде таблице 2.1.

Таблица 2.1 – Область применения основных приемов детерминированного факторного анализа

Методы элиминирования

Элиминировать– значит устранить, отклонить, исключить воздействие всех факторов на величину результативного показателя, кроме одного. Этот метод исходит из того, что все факторы изменяются независимо друг от друга: сначала изменяется один, а все другие остаются без изменения, потом изменяются два, затем три и т.д. Это позволяет определить влияние каждого фактора на величину исследуемого показателя в отдельности. К методам элиминирования относятся способ цепной подстановки, индексный метод, способ абсолютных и способ относительных разниц.

Способ цепной подстановки. Данный способ является универсальным, так как используется для расчета влияния факторов во всех типах детерминированных факторных моделей: аддитивных, мультипликативных, кратных и смешанных. Этот способ позволяет определить влияние отдельных факторов на изменение величины результативного показателя путем постепенной замены базисной величины каждого факторного показателя в объеме результативного показателя на фактическую в отчетном периоде. С этой целью определяют ряд условных величин результативного показателя, которые учитывают изменение одного, затем двух, трех и т.д. факторов, допуская, что остальные не меняются. Сравнение величины результативного показателя до и после изменения уровня того или иного фактора позволяет элиминироваться от влияния всех факторов, кроме одного, и определить взаимодействие последнего на прирост результативного показателя.

Рассмотрим алгоритм расчета способом цепной подстановки для различных моделей:

Мультипликативная модель

Двухфакторная мультипликативная модель (Y = a ´ b):

; ; .

.

Трехфакторная мультипликативная модель(Y = a ´ b ´ с):

; .

; ; ; .

Кратная модель

В кратных моделях (Y = a ÷ b) алгоритм расчета факторов на величину результативного показателя следующий:

; ;

.

Смешанные модели

Мультипликативно-аддитивного типа (Y = a ´ (b – c)):

; ;

; ;

; ;

; .

Кратно-аддитивного типа ():

;

; ;

; .

Используя способ цепной подстановки, рекомендуется придерживаться определенной последовательности расчетов: в первую очередь нужно учитывать изменение количественных, а затем качественных показателей. Если же имеется несколько количественных и несколько качественных показателей, то сначала следует изменить величину факторов первого уровня подчинения, а потом более низкого.

Индексный метод. Индексный метод основан на относительных показателях динамики, пространственных сравнений, выполнения плана, выражающих отношение фактического уровня анализируемого показателя в отчетном периоде к его уровню в базисном периоде.

С помощью агрегатных индексов можно выявить влияние различных факторов на изменение уровня результативных показателей в мультипликативных и кратных моделях.

Рассмотрим алгоритм расчета индексного метода для мультипликативной модели.

; ; ; .

Способ абсолютных разниц. Как и способ цепной подстановки, данный способ применяется для расчета влияния факторов на прирост результативного показателя в детерминированном анализе, но только в мультипликативных и мультипликативно-аддитивных моделях: и . Особенно эффективно применяется данный способ в том случае, если исходные данные уже содержат абсолютные отклонения по факторным показателям.

При его использовании величина влияния факторов рассчитывается умножением абсолютного прироста исследуемого фактора на базовую (плановую) величину факторов, которые находятся справа от него, и на фактическую величину факторов, расположенных слева от него в модели.

Мультипликативная модель

Алгоритм расчета для мультипликативной факторной модели типа . Имеются плановые и фактические значения по каждому факторному показателю, а также их абсолютные отклонения:

Изменение величины результативного показателя за счет каждого фактора:

; .

Смешанные модели

Алгоритм расчета факторов этим способом в смешанных моделях типа :

; ; .

Способ относительных разниц применяется для изменения влияния факторов на прирост результативного показателя только в мультипликативных моделях и мультипликативно-аддитивных моделях: . Он значительно проще цепных подстановок, что при определенных обстоятельствах делает его очень эффективным. Это касается тех случаев, когда исходные данные содержат уже определенные ранее относительные приросты факторных показателей в процентах или коэффициентах.

Мультипликативная модель

Алгоритм расчета влияния факторов на величину результативного показателя для мультипликативных моделей типа (Y = a ´ b ´ с).

Сначала рассчитываются относительные отклонения факторных показателей:

; ; .

Изменение результативного показателя за счет каждого фактора определяется следующим образом:

Они используются в тех случаях, когда результативный показатель представляет собой алгебраическую сумму нескольких факторных показателей.

2. Мультипликативные модели

Y=
.

Этот тип моделей применяется тогда, когда результативный показатель представляет собой произведение нескольких факторов.

3. Кратные модели

Y=.

Они применяются тогда, когда результативный показатель получают делением одного факторного показатели на величину другого.

4. Смешанные (комбинированные) модели - это сочетание в различных комбинациях предыдущих моделей:

Y=; Y=; Y=(a+b)c .

Преобразование факторных систем

1. Преобразование мультипликативных факторных систем осуществляется путем последовательного расчленения факторов исходной системы на факторы-сомножители .

Например, при исследовании процесса формирования объема производства продукции (см.рис.6.1) можно применять такие детерминированные модели, как

ВП=КРГВ; ВП=КРДДВ, ВП=КРДПСВ.

Эти модели отражают процесс детализации исходной факторной системы мультипликативного вида и расширения ее за счет расчленения на сомножители комплексных факторов. Степень детализации и расширения модели зависит от цели исследования, а также от возможностей детализации и формализации показателей в пределах установленных правил.

2. Аналогичным образом осуществляется моделирование аддитивных факторных систем за счет расчленения одного из факторных показателей на его составные элементы-слагаемые .

Пример. Как известно, объем реализации продукции

VРП = VВП – VИ,

где VВП - объем производства;

VИ – объем внутрихозяйственного использования продукции.

В сельскохозяйственном предприятии зернопродукция использовалась в качестве семян (С) и кормов (К) Тогда приведенную исходную модель можно записать следующим образом: VП = VВП - (С + К).

3. К классу кратных моделей применяют следующие способы их преобразования:

удлинения;

формального разложения;

расширения;

сокращения.

Первый метод предусматривает удлинение числителя исходной модели путем замены одного или нескольких факторов на сумму однородных показателей .

Например, себестоимость единицы продукции можно представить в качестве функции двух факторов: изменение суммы затрат (3) и объема выпуска продукции (VВП). Исходная модель этой факторной системы будет иметь вид

С=.

Если общую сумму затрат (3) заменить отдельными их элементами, такими, как оплата труда (ОТ), сырье и материалы (СМ), амортизация основных средств (А), накладные затраты (НЗ) и др., то детерминированная факторная модель будет иметь вид аддитивной модели с новым набором факторов

С=+++=X+ X+ X+ X,

где X– трудоемкость продукции; X– материалоемкость продукции; X– фондоемкость продукции; X– уровень накладных затрат

Способ формального разложения факторной системы предусматривает удлинение знаменателя исходной факторной модели путем замены одного или нескольких факторов на сумму или произведение однородных показателей .

Если b=l+m+n+р , то

Y=
.

В результате получили конечную модель того же вида, что и исходной факторной системы (кратную модель). На практике такое разложение встречается довольно часто. Например, при анализе показателя рентабельности производства (Р):

Р=,

где /7 - сумма прибыли от реализации продукции;

3 - сумма затрат на производство и реализацию продукции.

Если сумму затрат заменить на отдельные ее элементы, конечная модель в результате преобразования приобретет следующий вид:

Р=
.

Себестоимость одного тонно-километра (С
) зависит от суммы затрат на содержание и эксплуатацию автомобиля (3) и от его среднегодовой выработки (ГВ). Исходная модель этой системы будет иметь вид

С
=.

Учитывая, что среднегодовая выработка машины в свою очередь зависит от количества отработанных дней одним автомобилем за год (Д), продолжительности смены (П) и среднечасовой выработки (СВ), мы можем значительно удлинить эту модель и разложить прирост себестоимости на большее количество факторов:

С
=
.

Метод расширения предусматривает расширение исходной факторной модели за счет умножения числителя и знаменателя дроби на один или несколько новых показателей. Например, если в исходную модель

ввести новый показатель с, то модель примет вид

.

В результате получилась конечная мультипликативная модель в виде произведения нового набора факторов.

Этот способ моделирования очень широко применяется в анализе. Например, среднегодовую выработку продукции одним работником (показатель производительности труда) можно записать таким образом: ГВ = ВП / КР. Если ввести такой показатель, как количество отработанных дней всеми работниками (Д), то получим следующую модель годовой выработки:

ГВ=
,

где ДВ – среднедневная выработка; Д – количество отработанных дней одним работником.

После введения показателя количества отработанных часов всеми работниками (Т) получим модель с новым набором факторов: среднечасовой выработки (СВ), количества отработанных дней одним работником (Д) и продолжительности рабочего дня (П):

Способ сокращения представляет собой создание новой факторной модели путем деления числителя и знаменателя дроби на один и тот же показатель :

.

В данном случае получается конечная модель того же типа, что и исходная, однако с другим набором факторов.

Другой пример. Экономическая рентабельность активов предприятия (ROA) рассчитывается делением суммы прибыли (П) на среднегодовую стоимость основного и оборотного капитала предприятия (A): ROA=П/A.

Если числитель и знаменатель разделим на объем продажи продукции (S), то получим кратную модель, но с новым набором факторов: рентабельности реализованной продукции и капиталоемкости продукции:

Результативные показатели могут быть разложены на составные элементы (факторы) различными способами и представлены в виде различных типов детерминированных моделей. Выбор способа моделирования зависит от объекта исследования, поставленной цели, а также от профессиональных знаний и навыков исследователя. Процесс моделирования факторных систем - очень сложный и ответственный момент в экономическом анализе. От того, насколько реально и точно созданные модели отражают связь между исследуемыми показателями, зависят конечные результаты анализа .

Для выявления структуры временного ряда, т.е. определения количественных значений компонентов, составляющих уровней ряда, чаще всего используют аддитивную или мультипликативную модели временных рядов.

Мультипликативная модель. У=Т*S*E

T-трендовая компонента

S-сезонная компонента

E-случайная компонента

Мультипликативная модель используется в случае, если амплитуда сезонных колебаний увеличивается или уменьшается.

Алгоритм построения модели. Процесс построения модели включает в себя следующие шаги:

Выравнивание уровней исходного ряда методом скользящей средней.

Расчет значений сезонной компоненты S

Устранение сезонной компоненты из исходного уровня ряда и получение выровненных данных без S

Аналитическое выравнивание уровней ряда и расчет значений фактора Т

Расчет полученных значений (Т* S) для каждого уровня ряда

Расчет абсолютных или относительных ошибок модели.

(или 4.Определение тенденции временного ряда и уравнения тренда; 5.Расчет абсолютных или относительных ошибок модели.)

26 Выделение сезонной составляющей

Оценку сезонной компоненты можно найти как частное от деления фактических уровней ряда на центрированные скользящие средние.

Для начала необходимо найти средние за период (квартал, месяц) оценки сезонной компоненты Si . В моделях сезонной компоненты обычно предполагается что сезонные взаимодействия за период взаимопоглощаются.

В мультипликативной модели взаимопоглощаемость сезонных воздействий выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле.

Выравнивание исходных уровней с помощью скользящей средней: а) Суммируются уровни ряда последовательно за каждый период времени за каждые 4 квартала со сдвигом на 1 момент времени и определяются условные годовые объемы потребления б) Разделим полученные суммы на 4, получим скользящие средние. Полученные выравненные значения не содержат сезонной компоненты. в) Приводим эти значения в соответствие с фактическими моментами времени для чего найдем среднее значение из 2-х скользящих средних – центрированные скользящие средние.

27.Коэффициент корреляции.

Для определения степени линейной связи рассчитывается коэфф-т корреляции.

Для определения нелинейной связи определяется индекс корреляции

, 0 1

Коэффициент детерминации: R 2 = 2 -для лин. связи. R 2 = 2 -для нелин. связи.

Показывает на сколько % изменения показателя у от своего среднего значения зависит от изменения фактора х от своего среднего значения. Чем ближе значение R² к 1, тем точнее модель.

Из всех полученных уравнений регрессии, лучшей является та, у которой коэф-т детерминации больший.

Если исследуется несколько факторов (больше2) то в этом случае рассчитывается множественный коэфф-т корреляции.R Y , X 1, X 2.. XN -множественный коэфф-т корреляции.

При анализе влияния нескольких факторов друг на друга определяется корреляционная матрица, которая состоит из всех возможных парных линейных коэфф-тов корреляции.

Корреляционная матрица:

Инструкция . Для решения подобных задач выберите количество строк. Полученное решение сохраняется в файле MS Word .

Индекс – это относительный показатель сравнения двух состояний простого или сложного явления, состоящего из соизмеримых или несоизмеримых элементов, во времени или пространстве.
Основными задачами индексного метода являются :

• оценка динамики обобщающих показателей, характеризующих сложные, непосредственно несоизмеримые совокупности;
• анализ влияния отдельных факторов на изменение результативных обобщающих показателей;
• анализ влияния структурных сдвигов на изменение средних показателей однородной совокупности;
• оценка территориальных, в том числе международных, сравнений.

Общие (сводные) индексы бывают только групповые; динамические индексы бывают базисные и цепные; индексы с постоянными весами – стандартные, базисного периода, отчетного периода; средневзвешенные индексы – арифметические и гармонические.

Условные обозначения, используемые в теории индексного метода:
р - цена за единицу товара (услуги);
q - количество (объем) какого-либо продукта (товара) в натуральном выражении;
pq - общая стоимость продукции данного вида (товарооборот);
z - себестоимость единицы продукции (изделия);
zq - общая себестоимость продукции данного вида (денежные затраты на ее производство);
Т - общие затраты времени на производство продукции или общая численность работников;
w= q/ T - производство продукции данного вида в единицу времени (либо выработка продукции на одного работника, т.е. производительность труда);
t= T/ q - затраты рабочего времени на единицу продукции (трудоемкость единицы продукции);
1 - подстрочный символ показателя текущего (отчетного) периода;
0 - подстрочный символ показателя предшествующего (базисного) периода

Индивидуальный индекс ( i) характеризует динамику уровня изучаемого явления во времени за два сравниваемых периода или выражает соотношение отдельных элементов совокупности.
Основным элементом индексного соотношения является индексируемая величина. Индексируемая величина – это признак, изменение которого характеризует индекс.
Основные формулы вычисления индивидуальных индексов:
Индекс физического объема (количества) продукции

Индекс цен

Индекс стоимости продукции

Индекс себестоимости единицы продукции

Индекс затрат на производство продукции

Индекс трудоемкости

Индекс количества продукции, произведенной в единицу времени

Индекс производительности труда (по трудоемкости)

Взаимосвязь индексов

Виды мультипликативных индексных двухфакторных моделей

1. Мультипликативная индексная двухфакторная модель товарооборота: Q 1 = Q 0 i p i q
   С аналитической точки зрения i q показывает, во сколько раз увеличилась (или уменьшилась) общая сумма выручки под влиянием изменения объема продажи в натуральных единицах.
   Аналогично i p показывает, во сколько раз изменилась общая сумма выручки под влиянием изменения цены товара. Очевидно, что
   i Q = i q i p , или Q 1 = Q 0 i q i p
   Формула Q 1 = Q 0 i q i p представляет двухфакторную индексную мультипликативную модель итогового показателя. Посредством такой модели находят прирост итога под влиянием каждого фактора в отдельности.
   Так, если выручка от продажи некоторого товара возросла с 8 млн. руб. в предыдущем периоде до 12,180 млн. руб. в последующем и известно, что это объясняется увеличением количества проданного товара на 5 % при цене на 45 % большей, чем в предыдущем периоде, то можно записать следующее соотношение:
   12,180 = 8 × 1,05 × 1,45 (млн. руб.).
   Распределения общего прироста по факторам в двухфакторной индексной мультипликативной модели
   Общий прирост выручки в сумме 12,180-8 = 4,180 млн. руб. объясняется изменением объема продажи и цены. Прирост выручки за счет изменения объема продажи (в натуральном выражении) составит
   ΔQ(q) = Q 0 (i q -1)
   Для нашего примера: ΔQ(q) = 8(1,05-1)=+0,4 млн. руб.
   Тогда за счет изменения цены данного товара сумма выручки изменилась на
   ΔQ(p) = Q 0 i q (i p -1) или ΔQ(p) = 8*1,05(1,45-1) = +3,78 млн.руб.
   Общий прирост товарооборота складывается из приростов, объясняемых каждым фактором в отдельности, т.е. ΔQ = Q 1 – Q 0 = ΔQ(q) + ΔQ(p)
   или ΔQ = 12,18-8=0,4+3,78 = 4,18 млн.руб.
2. Мультипликативная индексная двухфакторная модель себестоимости (затрат, издержек обращения): Q 1 = Q 0 i z i q