В а зорич математический анализ. Математический анализ

В книге отражена связь курса классического анализа с современными математическими курсами (алгебры, дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, комплексного и функционального анализа).
Основные разделы первой части: введение в анализ (логическая символика, множество, функция, вещественное число, предел, непрерывность); дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; дифференциальное исчисление функций многих переменных.
Органической частью текста являются примеры приложений развиваемой теории, а также большое количество задач. Второе издание дополнено вопросами и задачами коллоквиумов и экзаменов.

В этом, втором издании книги, наряду с попыткой устранить опечатки первого, сделаны отдельные изменения изложения (в основном это касается вариантов доказательств отдельных теорем) и добавлены некоторые новые задачи, как правило, неформального характера. В предисловии к первому изданию этого курса анализа уже дана его общая характеристика, указаны основные принципы и направленность изложения. Здесь я хотел бы сделать несколько практических замечаний, связанных с использованием книги в учебном процессе.
Любым учебником обычно пользуются как студент, так и преподаватель - каждый для своих целей. Сначала и тот, и другой заинтересованы иметь книгу, где, помимо формально необходимого минимума теории, имеются по возможности разнообразные содержательные примеры ее использования, пояснения, исторический и научный комментарии, демонстрируются взаимосвязи, указываются перспективы развития. Но в момент подготовки к экзамену студент желает видеть тот материал, который выносится на экзамен. Преподаватель точно так же, завершая подготовку курса, отбирает только тот материал, который может и должен быть изложен в отведенное курсу время.

Оглавление
Предисловие ко второму изданию IX
Из предисловия к первому изданию XI
Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения 1
Глава II. Действительные (вещественные) числа 33
Глава III. Предел 76
Глава IV. Непрерывные функции 148
Глава V. Дифференциальное исчисление 170
Глава VI. Интеграл 324
Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерывность 403
Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих переменных 421
Некоторые задачи коллоквиумов 533
Вопросы к экзамену 538
Литература 542
Алфавитный указатель 545

Бесплатно скачать электронную книгу в удобном формате, смотреть и читать:
Скачать книгу Математический анализ, Часть I, Зорич В.А., 1997 - fileskachat.com, быстрое и бесплатное скачивание.

Скачать djvu
Ниже можно купить эту книгу по лучшей цене со скидкой с доставкой по всей России.

Зорич В. А. Математический анализ. Часть I. – Изд. 4-е, испр. – М.: МЦНМО, 2002. – XVI + 664 с.

Зорич В. А. Математический анализ. Часть II. – Изд. 4-е, испр. – М.: МЦНМО, 2002. – XIV + 794 с.

Университетский учебник в двух томах для студентов физико-математических специальностей. Может быть полезен студентам факультетов и вузов с расширенной математической подготовкой, а также специалистам в области математики и ее приложений.

В книге отражена связь курса классического анализа с современными математическими курсами (алгебры, дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, комплексного и функционального анализа).

Основные разделы первой части: введение в анализ (логическая символика, множество, функция, вещественное число, предел, непрерывность); дифференциальное и интегральное исчисление функции одной переменной; дифференциальное исчисление функций многих переменных.

Во вторую часть учебника включены следующие разделы: Многомерный интеграл. Дифференциальные формы и их интегрирование. Ряды и интегралы, зависящие от параметра (в том числе ряды и преобразования Фурье, а также асимптотические разложения).

Часть I

• Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения
  • § 1. Логическая символика
    • 1. Связки и скобки.
    • 2. Замечания о доказательствах.
    • 3. Некоторые специальные обозначения.
    • 4. Заключительные замечания.
  • § 2. Множество и элементарные операции над множествами
    • 1. Понятие множества.
    • 2. Отношение включения.
    • 3. Простейшие операции над множествами.
  • § 3. Функция
    • 1. Понятие функции (отображения).
    • 2. Простейшая классификация отображений.
    • 3. Композиция функций взаимно обратные отображения.
    • 4. Функция как отношение. График функции.
  • § 4. Некоторые дополнения
    • 1. Мощность множества (кардинальные числа).
    • 2. Об аксиоматике теории множеств.
    • 3. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств.
• Глава II. Действительные (вещественные) числа
  • § 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел
    • 1. Определение множества действительных чисел.
    • 2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел.
    • 3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества.
  • § 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
    • 1. Натуральные числа и принцип математической индукции.
    • 2. Рациональные и иррациональные числа.
    • 3. Принцип Архимеда.
    • 4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами.
  • § 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел
    • 1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши-Кантора).
    • 2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега.
    • 3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано-Вейерштрасса).
  • § 4. Счетные и несчетные множества
    • 1. Счетные множества.
    • 2. Мощность континуума.
• Глава III. Предел
  • § 1. Предел последовательности
    • 1. Определения и примеры.
    • 2. Свойства предела последовательности.
    • 3. Вопросы существования предела последовательности.
    • 4. Начальные сведения о рядах.
  • § 2. Предел функции
    • 1. Определения и примеры.
    • 2. Свойства предела функции.
    • 3. Общее определение предела функции (предел по базе).
    • 4. Во просы существования предела функции.
• Глава IV. Непрерывные функции
  • § 1. Основные определения и примеры
    • 1. Непрерывность функции в точке.
    • 2. Точки разрыва.
  • § 2. Свойства непрерывных функций
    • 1. Локальные свойства.
    • 2. Глобальные свойства непрерывных функций.
• Глава V. Дифференциальное исчисление
  • § 1. Дифференцируемая функция
    • 2. Функция, дифференцируемая в точке.
    • 3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала.
    • 4. Роль системы координат.
    • 5. Некоторые примеры.
  • § 2. Основные правила дифференцирования
    • 1. Дифференцирование и арифметические операции.
    • 2. Дифференцирование композиции функций.
    • 3. Дифференцирование обратной функции.
    • 4. Таблица производных основных элементарных функций.
    • 5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции.
    • 6. Производные высших порядков.
  • § 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
    • 1. Лемма Ферма и теорема Ролля.
    • 2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении.
    • 3. Формула Тейлора.
  • § 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления
    • 1. Условия монотонности функции.
    • 2. Условия внутреннего экстремума функции.
    • 3. Условия выпуклости функции.
    • 4. Правило Лопиталя.
    • 5. Построение графика функции.
  • § 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций 2
    • 1. Комплексные числа.
    • 2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами.
    • 3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций.
    • 4. Представление функции степенным рядом, аналитичность.
    • 5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел.
  • § 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания
    • 1. Движение тела переменной массы.
    • 2. Барометрическая формула.
    • 3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел.
    • 4. Падение тел в атмосфере.
    • 5. Еще раз о числе е и функции.
    • 6. Колебания.
  • § 7. Первообразная
    • 1. Первообразная и неопределенный интеграл.
    • 2. Основные общие приемы отыскания первообразной.
    • 3. Первообразные рациональных функций.
    • 4. Первообразные вида.
    • 5. Первообразные вида.
• Глава VI. Интеграл
  • § 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций
    • 1. Задача и наводящие соображения.
    • 2. Определение интеграла Римана.
    • 3. Множество интегрируемых функций.
  • § 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
    • 1. Интеграл как линейная функция на пространстве.
    • 2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования.
    • 3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем.
  • § 3. Интеграл и производная
    • 1. Интеграл и первообразная.
    • 2. Формула Ньютона-Лейбница.
    • 3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора.
    • 4. Замена переменной в интеграле.
    • 5. Некоторые примеры.
  • § 4. Некоторые приложения интеграла
    • 1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл.
    • 2. Длина пути.
    • 3. Площадь криволинейной трапеции.
    • 4. Объем тела вращения.
    • 5. Работа и энергия.
  • § 5. Несобственный интеграл
    • 1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов.
    • 2. Исследование сходимости несобственного интеграла.
    • 3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями.
• Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерывность
  • § 1. Пространство R m и важнейшие классы его подмножеств
    • 1. Множество R m и расстояние в нем.
    • 2. Открытые и замкнутые множества в R m .
    • 3. Компакты в R m .
    • Задачи и упражнения.
  • § 2. Предел и непрерывность функции многих переменных
    • 1. Предел функции.
    • 2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций.
• Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих переменных
  • § 1. Линейная структура в R m
    • 1. R m как векторное пространство.
    • 2. Линейные отображения.
    • 3. Норма в R m .
    • 4. Евклидова структура в R m .
  • § 2. Дифференциал функции многих переменных
    • 1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке.
    • 2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции.
    • 3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби.
    • 4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке.
  • § 3. Основные законы дифференцирования
    • 1. Линейность операции дифференцирования.
    • 2. Дифференцирование композиции отображений.
    • 3. Дифференцирование обратного отображения.
  • § 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных
    • 1. Теорема о среднем.
    • 2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных.
    • 3. Частные производные высшего порядка.
    • 4. Формула Тейлора.
    • 5. Экстремумы функций многих переменных.
    • 6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных.
  • § 5. Теорема о неявной функции
    • 1. Постановка вопроса и наводящие соображения.
    • 2. Простейший вариант теоремы о неявной функции.
    • 3. Переход к случаю зависимости F(x 1 , …, х n , у) = 0.
    • 4. Теорема о неявной функции.
  • § 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
    • 1. Теорема об обратной функции.
    • 2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду.
    • 3. Зависимость функций.
    • 4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших.
    • 5. Лемма Морса.
  • § 7. Поверхность в R n и теория условного экстремума
    • 1. Поверхность размерности к в R n .
    • 2. Касательное пространство.
    • 3. Условный экстремум.
• Некоторые задачи коллоквиумов
• Вопросы к экзамену
• Литература
• Алфавитный указатель

Часть II

• Глава IX. Непрерывные отображения (общая теория)
  • § 1. Метрическое пространство
    • 1. Определения и примеры.
    • 2. Открытые и замкнутые подмножества метрического пространства.
    • 3. Подпространство метрического пространства.
    • 4. Прямое произведение метрических пространств.
  • § 2. Топологическое пространство
    • 1. Основные определения.
    • 2. Подпространство топологического пространства.
    • 3. Прямое произведение топологических пространств.
  • § 3. Компакты
    • 1. Определение и общие свойства компакта.
    • 2. Метрические компакты.
  • § 4. Связные топологические пространства
  • § 5. Полные метрические пространства
    • 1. Основные определения и примеры.
    • 2. Пополнение метрического пространства.
  • § 6. Непрерывные отображения топологических пространств
    • 1. Предел отображения.
    • 2. Непрерывные отображения.
  • § 7. Принцип сжимающих отображений
• Глава Х. Дифференциальное исчисление с более общей точки зрения
  • § 1. Линейное нормированное пространство
    • 1. Некоторые примеры линейных пространств анализа.
    • 2. Норма в векторном пространстве.
    • 3. Скалярное произведение в векторном пространстве.
  • § 2. Линейные и полилинейные операторы
    • 1. Определения и примеры.
    • 2. Норма оператора.
    • 3. Пространство непрерывных операторов.
  • § 3. Дифференциал отображения
    • 1. Отображение, дифференцируемое в точке.
    • 2. Общие законы дифференцирования.
    • 3. Некоторые примеры.
    • 4. Частные производные отображения.
  • § 4. Теорема о конечном приращении и некоторые примеры ее использования
    • 1. Теорема о конечном приращении.
    • 2. Некоторые примеры применения теоремы о конечном приращении.
  • § 5. Производные отображения высших порядков
    • 1. Определение n-го дифференциала.
    • 2. Производная по вектору и вычисление значений n-го дифференциала.
    • 3. Симметричность дифференциалов высшего порядка.
    • 4. Некоторые замечания.
  • § 6. Формула Тейлора и исследование экстремумов
    • 1. Формула Тейлора для отображений.
    • 2. Исследование внутренних экстремумов.
    • 3. Некоторые примеры.
  • § 7. Общая теорема о неявной функции
• Глава XI. Кратные интегралы
  • § 1. Интеграл Римана на n-мерном промежутке
    • 1. Определение интеграла.
    • 2. Критерий Лебега интегрируемости функции по Рнману.
    • 3. Критерий Дарбу.
  • § 2. Интеграл по множеству
    • 1. Допустимые множества.
    • 2. Интеграл по множеству.
    • 3. Мера (объем) допустимого множества.
  • § 3. Общие свойства интеграла
    • 1. Интеграл как линейный функционал.
    • 2. Аддитивность интеграла.
    • 3. Оценки интеграла.
  • § 4. Сведение кратного интеграла к повторному
    • 1. Теорема Фубини.
    • 2. Некоторые следствия.
  • § 5. Замена переменных в кратном интеграле 139
    • 1. Постановка вопроса и эвристический вывод формулы - замены переменных.
    • 2. Измеримые множества и гладкие отображения.
    • 3. Одномерный случай.
    • 4. Случай простейшего диффеоморфизма в R n .
    • 5. Композиция отображений и формула замены переменных.
    • 6. Аддитивность интеграла и завершение доказательства формулы замены переменных в интеграле.
    • 7. Некоторые следствия и обобщения формулы замены переменных в кратных интегралах.
  • § 6. Несобственные кратные интегралы
    • 1. Основные определения.
    • 2. Мажорантный призивк сходимости несобственного интеграла.
    • 3. Замена переменных в несобственном интеграле.
• Глава XII. Поверхности и дифференциальные формы в R n
  • § 1. Поверхности в R n
  • § 2. Ориентация поверхности
  • § 3. Край поверхности и его ориентация
    • 1. Поверхность с краем.
    • 2. Согласование ориентации поверхности и края.
  • § 4. Площадь поверхности в евклидовом пространстве
  • § 5. Начальные сведения о дифференциальных формах
    • 1. Дифференциальная форма, определение и примеры.
    • 2. Координатная запись дифференциальной формы.
    • 3. Внешний дифференциал формы.
    • 4. Перенос векторов и форм при отображениях.
    • 5. Формы на поверхностях.
• Глава XIII. Криволинейные и поверхностные интегралы
  • § 1. Интеграл от дифференциальной формы
    • 1. Исходные задачи, наводящие соображения, примеры.
    • 2. Определение интеграла от формы по ориентированной поверхности.
  • § 2. Форма объема, интегралы первого и второго рода
    • 1. Масса материальной поверхности.
    • 2. Плбщадь поверхности как интеграл от формы.
    • 3. Форма объема.
    • 4. Выражение формы объема в декартовых координатах.
    • 5. Интегралы первого и второго рода.
  • § 3. Основные интегральные формулы анализа
    • 1. Формула Грина.
    • 2. Формула Гаусса-Остроградского.
    • 3. Формула Стокса в R 3 .
    • 4. Общая формула Стокса.
• Глава XIV. Элементы векторного анализа и теории поля
  • § 1. Дифференциальные Ъперации векторного анализа
    • 1. Скалярные и векторные поля
    • 2. Векторные поля и формы в R 3 .
    • 3. Дифференциальные операторы grad, rot, div и V.
    • 4. Некоторые дифференциальные формулы векторного анализа.
    • 5. Векторные операции в криволинейных координатах.
  • § 2. Интегральные формулы теории поля
    • 1. Классические интегральные формулы в векторных обозначениях.
    • 2. Физическая интерпретация.
    • 3. Некоторые дальнейшие интегральные формулы.
  • § 3. Потенциальные поля
    • 1. Потенциал векторного поля.
    • 2. Необходимое условие потенциальности.
    • 3. Критерий потенциальности векторного поля.
    • 4. Топологическая структура области и потенциал.
    • 5. Векторный потенциал. Точные и замкнутые формы.
  • § 4. Примеры приложений
    • 1. Уравнение теплопроводности.
    • 2. Уравнение неразрыв ности.
    • 3. Основные уравнения динамики сплошной среды.
    • 4. Волновое уравнение.
• Глава XV. Интегрирование дифференциальных форм на многообразиях 305
  • § 1. Некоторые напоминания из линейной алгебры
    • 1. Алгебра форм.
    • 2. Алгебра кососимметрических форм.
    • 3. Линейные отображения линейных пространств, и сопряженные отображения сопряженных пространств. Задачи и упражнения
  • § 2. Многообразие.
    • 1. Определение многообразия.
    • 2. Гладкие многообразия и гладкие отображения.
    • 3. Ориентация, многообразия и, его края.
    • 4. Разбиение единицы и реализация многообразий в виде поверхностей в R n .
  • § 3. Дифференциальные формы и их интегрирование на многообразиях
    • 1. Касательное пространство к многообразию в точке.
    • 2. Дифференциальная форма на многообразии.
    • 3. Внешний дифференциал.
    • 4. Интеграл от формы по многообразию.
    • 5. Формула Стокса.
  • § 4. Замкнутые и точные формы на многообразии
    • 1. Теорема Пуанкаре.
    • 2. Гомологии и когомологви.
• Глава XVI. Равномерная сходимость и основные операции анализа над рядами и семействами функций
  • § 1. Поточечная и равномерная сходимость
    • 1. Поточечная сходимость.
    • 2. Постановка основных вопросов.
    • 3. Сходимость и равномерная сходимость семейства функций, зависящвх от параметра.
    • 4. Критерий Коши равномерной сходимости.
  • § 2. Равномерная сходимость рядов функций
    • 1. Основные определения и критерий равномерной сходимости ряда.
    • 2. Признак Вейергатрасса равномерной сходимости ряда.
    • 3. Признак Абеля-Дирихле.
  • § 3. Функциональные свойства предельной функции
    • 1. Конкретизация задачи.
    • 2. Условия коммутнрованвя двух предельных переходов.
    • 3. Непрерывность и предельный переход.
    • 4. Интегрирование и предельный переход.
    • 5. Дифференцирование и предельный переход.
  • § 4. Компактные и плотные подмножества пространства непрерывных функций
    • 1. Теорема Арцела-Асколи.
    • 2. Метрическое пространство.
    • 3. Теорема Стоуна.
• Глава XVII. Интегралы, зависящие от параметра
  • § 1. Собственные интегралы, зависящие от параметра
    • 1. Понятие интеграла, зависящего от параметра.
    • 2. Непрерывность интеграла, зависящего от параметра.
    • 3. Дифференцирование интеграла, зависящего от параметра.
    • 4. Интегрирование интеграла, зависящего от параметра
  • § 2. Несобственные интегралы, зависящие от параметра
    • 1. Равномерная сходимость несобственного интеграла относительно параметра.
    • 2. Предельный переход под знаком несобственного интеграла и непрерывность несобственного интеграла, зависящего от параметра.
    • 3. Дифференцирование несобственного интеграла по параметру.
    • 4. Интегрирование несобственного интеграла по параметру.
  • § 3. Эйлеровы интегралы
    • 1. Бета-функция.
    • 2. Гамма-функция.
    • 3. Связь между функциями В и Г.
    • 4. Некоторые примеры.
  • § 4. Свертка функций и начальные сведения об обобщенных функциях
    • 1. Свертка в физических задачах (наводящие соображения).
    • 2. Некоторые общие свойства свертки.
    • 3. Дельтаобразные семейства функций и аппроксимациониая теорема Вейерштрасса.
    • 4. Начальные представления о распределениях.
  • § 5. Кратные интегралы, зависящие от параметра
    • 1. Собственные кратные интегралы, зависящие от параметра.
    • 2. Несобственные кратные интегралы, зависящие от параметра.
    • 3. Несобственные интегралы с переменной особенностью.
    • 4. Свертка, фундаментальное решение и обобщенные функции в многомерном случае.
• Глава XVIII Рид Фурье и преобразование Фурье
  • § 1. Основные общие представления, связанные с понятием ряда Фурье
    • 1. Ортогональные системы функций.
    • 2. Коэффициенты Фурье и ряд Фурье.
    • 3. Об одном важном источнике ортогональных систем функций в анализе.
  • § 2. Тригонометрический ряд Фурье
    • 1. Основные виды сходимости классического ряда Фурье.
    • 2. Исследование поточечной схвдимости тригонометрического ряда Фурье.
    • 3. Гладкость функции и скорость убывания коэффициентов Фурье.
    • 4. Полнота тригонометрической системы.
  • § 3. Преобразование Фурье
    • 1. Представление функции интегралом Фурье.
    • 2. Регулярность функции и скорость убывания ее преобразования Фурье.
    • 3. Важнейшие аппаратные свойства преобразования Фурье.
    • 4. Примеры приложений.
• Глава XIX. Асимптотические разложения
  • § 1. Асимптотическая формула и асимптотический ряд
    • 1. Основные определения.
    • 2. Общие сведения об асимптотических рядах.
    • 3. Степенные асимптотические ряды.
  • § 2. Асимптотика интегралов (метод Лапласа)
    • 1. Идея метода Лапласа.
    • 2. Принцип локализации дли интеграла Лапласа.
    • 3. Канонические интегралы и их асимптотика.
    • 4. Главный член асимптотики интеграла Лапласа.
    • 5. Асимптотические разложения интегралов Лапласа.
• Задачи и упражнения
• Литература
• Указатель основных обозначений
• Алфавитный указатель

Профессор кафедры Математического анализа механико-математического факультета МГУ. Доктор физико-математических наук. Заслуженный профессор Московского университета.

Научная специализация: анализ, конформная геометрия, квазиконформные отображения.

Окончил механико-математический факультет МГУ (1960) и аспирантуру (1963) по кафедре Теории функций и функционального анализа.

Ассистент (1963-1969), доцент (1969-1971), и с 1971 г. по настоящее время профессор кафедры Математического анализа механико-математического факультета МГУ. Заслуженный профессор МГУ (2007).

Кандидатская диссертация «Соответствие границ при некоторых классах отображений в пространстве» (научный руководитель Б. В. Шабат, официальные оппоненты А. И. Маркушевич, С. Я. Хавинсон) защищена в МГУ (1963); отмечена как выдающаяся.

Докторская диссертация «Глобальная обратимость квазиконформных отображений пространства» (официальные оппоненты А. Г. Витушкин, А. И. Маркушевич, С. П. Новиков) защищена в МГУ (1969); содержит решение поставленной в 1938 г. М. А. Лаврентьевым проблемы обратимости в целом квазиконформных погружений многомерных пространств (локально обратимое квазиконформное отображение евклидова пространства размерности больше двух в себя обратимо глобально).

Научные интересы последнего времени:
- конформная классификация римановых и субримановых многообразий;
- асимптотическая геометрия многообразий;
- особенности квазиконформных погружений;
- математические аспекты термодинамики.

В период 1971-1990 годы вел прикладные исследования в области технологии машиностроения для Производственного объединения Авто ЗИЛ.

В 1973 г. совместно с С. П. Новиковым инициировал организацию на механико-математическом факультете МГУ первого экспериментального потока естественнонаучного профиля (1975-1980).

На механико-математическом факультете МГУ неоднократно читал основные курсы: «Математический анализ», «Теория функций комплексного переменного» и специальные курсы «Квазиконформные отображения», «Дифференциальное и интегральное исчисление с точки зрения современного анализа», «Асимптотические методы анализа», «Анализ и конформная геометрия», «Математические аспекты классической термодинамики», «Математический анализ задач естествознания»; руководил научной работой студентов, аспирантов, стажеров; вел специальные семинары «Геометрическая теория отображений», «Комплексный анализ», «Геометрия и анализ», «Квазиконформные отображения».

Премия Ленинского комсомола в области науки (1968) за решение проблемы глобальной обратимости квазиконформных отображений пространства.

Патент на изобретение в области технологии машиностроения (1988).

Автор 85 математических работ (2012) и университетского учебника по математическому анализу для студентов физико-математических специальностей. (Математический анализ, Части I, II; М., Наука, 1981, 1984. Шестое издание: Части I, II; М., МЦНМО, 2012. Английский перевод: Mathematical Analysis I, II; Springer Verlag, Berlin, Heidelberg, New York, 2004. Немецкий: Analysis I, II. Springer-Verlag Berlin Heidelberg, 2006, 2007. Китайский: Mathematical Analysis. Higher Education Press, Beijing, 2006.)

Монография (экспериментальный спецкурс естественнонаучного содержания для математиков): «Математический анализ задач естествознания». М., МЦНМО, 2008. Расширенный английский перевод: «Mathematical Analysis of Problems in the Natural Sciences». Springer-Verlag, 2011. В приложении помещена общедоступная статья «Математика как язык и метод». Китайский перевод: «Mathematical Analysis of Problems in the Natural Sciences». Higher Education Press, Beijing, 2012.

Популярная книжка-брошюра: «Язык естествознания» (Математическая азбука). М., МЦНМО, 2011.

Книги. Скачать книги DJVU, PDF бесплатно. Бесплатная электронная библиотека
В.А. Зорич, Математический анализ (Часть 1)

Вы можете (программа отметит желтым цветом)
Вы можете посмотреть список книг по высшей математике с сортировкой по алфавиту.
Вы можете посмотреть список книг по высшей физике с сортировкой по алфавиту.

Уважаемые дамы и господа!! Для того, чтобы без "глюков" скачать файлы электронных публикаций, нажмите на подчеркнутую ссылку с файлом ПРАВОЙ кнопкой мыши , выберите команду "Save target as ..." ("Сохранить объект как..." ) и сохраните файл электронной публикации на локальный компьютер. Электронные публикации обычно представлены в форматах Adobe PDF и DJVU.

Глава I. Некоторые общематематические понятия и обозначения

§ 1. Логическая символика
1. Связки и скобки (1).
2. Замечания о доказательствах (3).
3. Некоторые специальные обозначения (3).
4. Заключительные замечания (3).
Упражнения (4).

§ 2. Множество и элементарные операции над множествами
1. Понятие множества (5).
2. Отношение включения (7).
3. Простейшие операции над множествами (8).
Упражнения (10).

§ 3. Функция
1. Понятие функции (отображения) (11).
2. Простейшая классификация отображений (15).
3. Композиция функций взаимно обратные отображения (16).
4. Функция как отношение. График функции (19).
Упражнения (22).

§ 4. Некоторые дополнения
1. Мощность множества (кардинальные числа) (25). 1. Об аксиоматике теории множеств (26).
2. Замечания о структуре математических высказываний и записи их на языке теории множеств (29).
Упражнения (31).

Глава II. Действительные (вещественные) числа

§ 1. Аксиоматика и некоторые общие свойства множества действительных чисел
1. Определение множества действительных чисел (33).
2. Некоторые общие алгебраические свойства действительных чисел (37).
3. Аксиома полноты и существование верхней (нижней) грани числового множества (41).

§ 2. Важнейшие классы действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами
1. Натуральные числа и принцип математической индукции (43).
2. Рациональные и иррациональные числа (46).
3. Принцип Архимеда (50).
4. Геометрическая интерпретация множества действительных чисел и вычислительные аспекты операций с действительными числами (52).
Задачи и упражнения (64).

§ 3. Основные леммы, связанные с полнотой множества действительных чисел
1. Лемма о вложенных отрезках (принцип Коши- антора) (68).
2. Лемма о конечном покрытии (принцип Бореля-Лебега (69).
3. Лемма о предельной точке (принцип Больцано-Вейерштрасса (69).

§ 4. Счетные и несчетные множества
1. Счетные множества (71).
2. Мощность континуума (73).

Глава III. Предел

§ 1. Предел последовательности
1. Определения и примеры (77).
2. Свойства предела последовательности (79).
3. Вопросы существования предела последовательности (83).
4. Начальные сведения о рядах (92).

§ 2. Предел функции
1. Определения и примеры (105).
2. Свойства предела функции (109).
3. Общее определение предела функции (предел по базе) (124).
4. Во просы существования предела функции (128).

Глава IV. Непрерывные функции

§ 1. Основные определения и примеры
1. Непрерывность функции в точке (148).
2. Точки разрыва (153).

§ 2. Свойства непрерывных функций
1. Локальные свойства (156).
2. Глобальные свойства непрерывных функций (157).

Глава V. Дифференциальное исчисление

§ 1. Дифференцируемая функция
1. Задача и наводящие соображения (170).
2. Функция, дифференцируемая в точке (175).
3. Касательная; геометрический смысл производной и дифференциала (177).
4. Роль системы координат (180).
5. Некоторые примеры (182).

§ 2. Основные правила дифференцирования
1. Дифференцирование и арифметические операции (189).
2. Дифференцирование композиции функций (192).
3. Дифференцирование обратной функции (196).
4. Таблица производных основных элементарных функций (200).
5. Дифференцирование простейшей неявно заданной функции (200).
6. Производные высших порядков (205).

§ 3. Основные теоремы дифференциального исчисления
1. Лемма Ферма и теорема Ролля (210).
2. Теоремы Лагранжа и Коши о конечном приращении (212).
3. Формула Тейлора (215).

§ 4. Исследование функций методами дифференциального исчисления
1. Условия монотонности функции (231).
2. Условия внутреннего экстремума функции (232).
3. Условия выпуклости функции (238).
4. Правило Лопиталя (245).
5. Построение графика функции (246).

§ 5. Комплексные числа и взаимосвязь элементарных функций 2
1. Комплексные числа (258).
2. Сходимость в С и ряды с комплексными членами (262).
3. Формула Эйлера и взаимосвязь элементарных функций (267).
4. Представление функции степенным рядом, аналитичность (270).
5. Алгебраическая замкнутость поля С комплексных чисел (275).

§ 6. Некоторые примеры использования дифференциального исчисления в задачах естествознания
1. Движение тела переменной массы (283).
2. Барометрическая формула (285).
3. Радиоактивный распад, цепная реакция и атомный котел (287).
4. Падение тел в атмосфере (289).
5. Еще раз о числе е и функции (291).
6. Колебания (293).

§ 7. Первообразная
1. Первообразная и неопределенный интеграл (301).
2. Основные общие приемы отыскания первообразной (303).
3. Первообразные рациональных функций (309).
4. Первообразные вида (314).
5. Первообразные вида (316).

Глава VI. Интеграл

§ 1. Определение интеграла и описание множества интегрируемых функций
1. Задача и наводящие соображения (324).
2. Определение интеграла Римана (326).
3. Множество интегрируемых функций (328).

§ 2. Линейность, аддитивность и монотонность интеграла
1. Интеграл как линейная функция на пространстве (342).
2. Интеграл как аддитивная функция отрезка интегрирования (342).
3. Оценка интеграла, монотонность интеграла, теоремы о среднем (345).

§ 3. Интеграл и производная
1. Интеграл и первообразная (354).
2. Формула Ньютона-Лейбница (356).
3. Интегрирование по частям в определенном интеграле и формула Тейлора (357).
4. Замена переменной в интеграле (359).
5. Некоторые примеры (361).

§ 4. Некоторые приложения интеграла
1. Аддитивная функция ориентированного промежутка и интеграл (369).
2. Длина пути (371).
3. Площадь криволинейной трапеции (377).
4. Объем тела вращения (378).
5. Работа и энергия (379).

§ 5. Несобственный интеграл
1. Определения, примеры и основные свойства несобственных интегралов (386).
2. Исследование сходимости несобственного интеграла (391).
3. Несобственные интегралы с несколькими особенностями (398).

Глава VII. Функции многих переменных, их предел и непрерывность

§ 1. Пространство Rm и важнейшие классы его подмножеств
1. Множество Rm и расстояние в нем (403).
2. Открытые и замкнутые множества в Rm (405).
3. Компакты в Rm (408).
Задачи и упражнения (409).

§ 2. Предел и непрерывность функции многих переменных
1. Предел функции (410).
2. Непрерывность функции многих переменных и свойства непрерывных функций (415).

Глава VIII. Дифференциальное исчисление функций многих переменных

§ 1. Линейная структура в Rm 4
1. Rm как векторное пространство (421).
2. Линейные отображения (422).
3. Норма в Rm (423).
4. Евклидова структура в Rm (425).

§ 2. Дифференциал функции многих переменных
1. Дифференцируемость и дифференциал функции в точке (426).
2. Дифференциал и частные производные вещественнозначной функции (427).
3. Координатное представление дифференциала отображения. Матрица Якоби (430).
4. Непрерывность, частные производные и дифференцируемость функции в точке (431).

§ 3. Основные законы дифференцирования
1. Линейность операции дифференцирования (432).
2. Дифференцирование композиции отображений (434).
3. Дифференцирование обратного отображения (440).

§ 4. Основные факты дифференциального исчисления вещественнозначных функций многих переменных
1. Теорема о среднем (447).
2. Достаточное условие дифференцируемости функции многих переменных (449).
3. Частные производные высшего порядка (450).
4. Формула Тейлора (453).
5. Экстремумы функций многих переменных (454).
6. Некоторые геометрические образы, связанные с функциями многих переменных (461).

§ 5. Теорема о неявной функции
1. Постановка вопроса и наводящие соображения (471).
2. Простейший вариант теоремы о неявной функции (473).
3. Переход к случаю зависимости F(x1, ..., хn, у) = 0 (477).
4. Теорема о неявной функции (480).

§ 6. Некоторые следствия теоремы о неявной функции
1. Теорема об обратной функции (489).
2. Локальное приведение гладкого отображения к каноническому виду (493).
3. Зависимость функций (497).
4. Локальное разложение диффеоморфизма в композицию простейших (499).
5. Лемма Морса (501).

§ 7. Поверхность в Rn и теория условного экстремума
1. Поверхность размерности к в Rn (506).
2. Касательное пространство (511).
3. Условный экстремум (516).

Краткая аннотация книги

В книге отражена связь курса классического анализа с современными математическими курсами (алгебры, дифференциальной геометрии, дифференциальных уравнений, комплексного и функционального анализа). Основные разделы первой части: введение в анализ (логическая символика, множество, функция, вещественное число, предел, непрерывность); дифференциальное и интегральное исчисление функций одной переменной; дифференциальное исчисление функций многих переменных. Органической частью текста являются примеры приложений развиваемой теории, а также большое количество задач. Второе издание дополнено вопросами и задачами коллоквиумов и экзаменов.

Для студентов университетов, обучающихся по специальности "Математика" и "Механика". Может быть полезна студентам факультетов и вузов с расширенной программой по математике, а так же специалистам в области математики и ее приложений.

Книги, книги скачать, скачать книгу, книги онлайн, читать онлайн, скачать книги бесплатно, читать книги, читать книги онлайн, читать, библиотека онлайн, книги читать, читать онлайн бесплатно, читать книги бесплатно, электронная книга, читать онлайн книги, лучшие книги математика и физика, интересные книги математика и физика, электронные книги, книги бесплатно, книги бесплатно скачать, скачать бесплатно книги математика и физика, скачать книги бесплатно полностью, онлайн библиотека, книги скачать бесплатно, читать книги онлайн бесплатно без регистрации математика и физика, читать книги онлайн бесплатно математика и физика, электронная библиотека математика и физика, книги читать онлайн математика и физика, мир книг математика и физика, читать бесплатно математика и физика, библиотека онлайн математика и физика, чтение книг математика и физика, книги онлайн бесплатно математика и физика, популярные книги математика и физика, библиотека бесплатных книг математика и физика, скачать электронную книгу математика и физика, бесплатная библиотека онлайн математика и физика, электронные книги скачать, учебники онлайн математика и физика, библиотека электронных книг математика и физика, электронные книги скачать бесплатно без регистрации математика и физика, хорошие книги математика и физика, скачать книги полностью математика и физика, электронная библиотека читать бесплатно математика и физика, электронная библиотека скачать бесплатно математика и физика, сайты для скачивания книг математика и физика, умные книги математика и физика, поиск книг математика и физика, скачать электронные книги бесплатно математика и физика, электронная книга скачать математика и физика, самые лучшие книги математика и физика, электронная библиотека бесплатно математика и физика, читать онлайн бесплатно книги математика и физика, сайт книг математика и физика, библиотека электронная, онлайн книги читать, книга электронная математика и физика, сайт для скачивания книг бесплатно и без регистрации, бесплатная онлайн библиотека математика и физика, где бесплатно скачать книги математика и физика, читать книги бесплатно и без регистрации математика и физика, учебники скачать математика и физика, скачать бесплатно электронные книги математика и физика, скачать бесплатно книги полностью, библиотека онлайн бесплатно, лучшие электронные книги математика и физика, онлайн библиотека книг математика и физика, скачать электронные книги бесплатно без регистрации, библиотека онлайн скачать бесплатно, где скачать бесплатно книги, электронные библиотеки бесплатные, электронные книги бесплатно, бесплатные электронные библиотеки, онлайн библиотека бесплатно, бесплатно читать книги, книги онлайн бесплатно читать, читать бесплатно онлайн, интересные книги читать онлайн математика и физика, чтение книг онлайн математика и физика, электронная библиотека онлайн математика и физика, бесплатная библиотека электронных книг математика и физика, библиотека онлайн читать, читать бесплатно и без регистрации математика и физика, найти книгу математика и физика, каталог книг математика и физика, скачать книги онлайн бесплатно математика и физика, интернет библиотека математика и физика, скачать бесплатно книги без регистрации математика и физика, где можно скачать книги бесплатно математика и физика, где можно скачать книги, сайты для бесплатного скачивания книг, онлайн читать, библиотека читать, книги читать онлайн бесплатно без регистрации, книги библиотека, бесплатная библиотека онлайн, онлайн библиотека читать бесплатно, книги читать бесплатно и без регистрации, электронная библиотека скачать книги бесплатно, онлайн читать бесплатно.

,
С 2017 года возобновляем мобильную версию веб-сайта для мобильных телефонов (сокращенный текстовый дизайн, технология WAP) - верхняя кнопка в левом верхнем углу веб-страницы. Если у Вас нет доступа в Интернет через персональный компьютер или интернет-терминал, Вы можете воспользоваться Вашим мобильным телефоном для посещения нашего веб-сайта (сокращенный дизайн) и при необходимости сохранить данные с веб-сайта в память Вашего мобильного телефона. Сохраняйте книги и статьи на Ваш мобильный телефон (мобильный интернет) и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Удобное скачивание книг через мобильный телефон (в память телефона) и на Ваш компьютер через мобильный интерфейс. Быстрый Интернет без излишних тэгов, бесплатно (по цене услуг Интернет) и без паролей. Материал приведен для ознакомления. Прямые ссылки на файлы книг и статей на веб-сайте и их продажи третьими лицами запрещены.

Примечание. Удобная текстовая ссылка для форумов, блогов, цитирования материалов веб-сайта, код html можно скопировать и просто вставить в Ваши веб-страницы при цитировании материалов нашего веб-сайта. Материал приведен для ознакомления. Сохраняйте также книги на Ваш мобильный телефон через сеть Интернет (есть мобильная версия сайта - ссылка вверху слева страницы) и скачивайте их с Вашего телефона на компьютер. Прямые ссылки на файлы книг запрещены.

У этого термина существуют и другие значения, см. Анализ. Математический анализ совокупность разделов математики, посвящённых исследованию функций и их обобщений методами дифференциального и интегрального исчислений. При столь общей… … Википедия

Часть математики, в к рой функции и их обобщения изучаются методом пределов. Понятие предела тесно связано с понятием бесконечно малой величины, поэтому можно также сказать, что М. а. изучает функции и их обобщения методом бесконечно малых.… … Математическая энциклопедия

Раздел математики, дающий методы количественного исследования разных процессов изменения; занимается изучением скорости изменения (дифференциальное исчисление) и определением длин кривых, площадей и объемов фигур, ограниченных кривыми контурами и … Энциклопедия Кольера

80x287 в колодке на базовой плате персонального компьютера … Википедия

АНАЛИЗ, а, муж. 1. Метод исследования путём рассмотрения отдельных сторон, свойств, составных частей чего н. 2. Всесторонний разбор, рассмотрение. А. художественного произведения. А. своих поступков. 3. Определение состава вещества. Химический а … Толковый словарь Ожегова

Как самостоятельная система есть алгебра в обширном смысле этого слова, которая рассматривает все величины как неизвестные числа, употребляя буквы вместо арифметических знаков цифр. Включая в математический А. учение о равенствах, составляющее… … Энциклопедический словарь Ф.А. Брокгауза и И.А. Ефрона

Комплексный анализ, теория функций комплексного переменного (или комплексной переменной; сокращенно ТФКП) раздел математического анализа, в котором рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Содержание 1 Общие понятия … Википедия

Комплексный анализ или теория функций комплексного переменного (комплексной переменной) (ТФКП) часть математического анализа, в которой рассматриваются и изучаются функции комплексного аргумента. Содержание 1 Общие понятия 2… … Википедия

- (тень числа), в нестандартном анализе стандартное число, бесконечно близкое к конечному гипердействительному числу. Стандартная часть числа обозначается или. Стандартная часть даёт переход от конечных гипердействительных к действительным числам … Википедия

- (теория правил) это, с одной стороны, математическая теория детерминаций, а с другой практический метод анализа правил, который позволяет искать и анализировать правила, обрабатывая данные опыта. Идея детерминационного анализа состоит … Википедия

Раздел математич. статистики, посвященный математич. методам построения оптимальных планов сбора, систематизации и обработки многомерных статистич. данных, направленным на выявление характера и структуры взаимосвязей между компонентами… … Математическая энциклопедия