Построение графика обратной зависимости (гиперболы). Визуальный гид (2019). Обратные тригонометрические функции, их свойства и графики

Начальный уровень

Построение графика обратной зависимости (гиперболы). Визуальный гид (2019)

Чтобы понять то, что здесь будет написано, тебе нужно хорошо знать, что такое обратная зависимость, и с чем ее едят. Если ты уверен, что знаешь все об обратной зависимости, добро пожаловать. Но если нет, тебе стоит прочитать тему « ».

Также очень советую научиться сперва строить , так как есть некоторые общие принципы для построения графика квадратичной и обратной зависимостей.

Начнем с небольшой проверки:

Что такое обратная пропорциональность?

Как выглядит функция, описывающая обратную зависимость в общем виде (формула)?

Как называется график такой функции?

Какие коэффициенты влияют на график функции, и как?

Если ты сходу смог ответить на эти вопросы, продолжай читать. Если хоть один вопрос вызвал затруднения, перейди по .

Итак, ты уже умеешь обращаться с обратной зависимостью, анализировать ее график и строить график по точкам.

Напоминаю: обратная зависимость в общем виде задается функцией

Давай вкратце вспомним, что делают коэффициенты.

Отвечает за «пологость» и направление графика: чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента влияет на то, в каких четвертях расположен график: если, то ветви гиперболы расположены в и четвертях; если, то во и.

Дальше - число. Если внимательно посмотреть на знаменатель, видим, что - это такое число, которому не может равняться. То есть - это вертикальная асимптота , то есть вертикаль, к которой стремится график (на рисунке выше такой вертикалью является ось):

ОК, осталось еще одно число: . C ним все еще проще: если у нас уже есть гипербола (например, как на рисунке выше), а мы хотим гиперболу, то получается, что ордината каждой точки графика должны стать больше на, то есть нужно просто весь график сместить вверх на:

Как видим, теперь график стремится по горизонтали к прямой вместо оси, как было раньше. Такая прямая называется горизонтальной асимптотой .

Теперь давай научимся строить простейшую гиперболу - .

Достаточно помнить, как она выглядит, и тогда нам хватит всего трех-четырех точек.

Например, построим гиперболу.

Составим таблицу из точек, которые принадлежат одной ветке (например, правой):

Отмечаем точки на рисунке:

Проводим через них плавную линию, которая краями приближается к осям:

Это одна ветвь гиперболы. Проверить правильность построения этой кривой можно так: она должна быть симметрична относительно биссектрисы угла между осями координат :

Отлично, осталось вспомнить, что собой представляет вторая ветвь? Это точно такая же кривая, расположенная симметрично относительно начала координат. То есть как будто оси теперь направлены не снизу вверх и слева направо, а наоборот: сверху вниз и справа налево, и мы рисуем ту же самую ветвь гиперболы. Вот:

Еще один полезный факт. Посмотри на красные точки на графике. Видно, что их абсцисса совпадает с ординатой. Так вот, эти абсцисса с ординатой равны для правой ветви гиперболы, и для левой. Для функций, у которых - точный квадрат (например, или), эту точку, относительно которой ветвь гиперболы симметрична, будет очень легко поставить. В этом случае достаточно даже трех точек, чтобы построить график.

Например, построим график функции. Как и в прошлый раз, начнем с правой ветви. Точка симметрии: . Выберем еще одну точку, например, . У третьей точки координаты будут наоборот: , . Рисуем:

И теперь симметрично отображаем эту ветвь в третью координатную четверть:

Теперь выясним, что будет, если? Очень просто: если есть график функции с таким же по величине, но положительным, то нужно просто отразить его относительно оси , то есть правая ветвь теперь будет ниже оси (в четверти), а левая - выше (в четверти). Принцип построения же останется прежним:

Ну что же, осталось объединить все то, что мы уже выяснили.

Итак, вот правило построения графика функции:

2) График должен быть сдвинут вправо на. Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем влево на .

3) График должен быть сдвинут вверх на. Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем вниз на .

Примеры:

Решения:

1. Пойдем по порядку по пунктам.

2. Сначала преобразуем выражение:

Теперь ясно, что; ; :

Дополнительное условие означает, что на графике появится выколотая точка c абсциссой:

5. . Ты уже, наверное, догадался, что вместо того, чтобы смотреть на эту функцию квадратными глазами и говорить «Что это??!!», нужно просто взять и упростить выражение. Если не знаешь, как это делать, то тебе прямая дорога в тему « ». Да-да, прямо сейчас, все бросай и переходи по ссылке!

Итак, если ты уже усвоил тему « », то тебе не составит труда упростить нашу функцию. Вот что должно получиться:

Выколотая точка:

6. . Здесь нужно не то чтобы упростить, тут нужно привести выражение к виду обратной зависимости. Мы такие штуки делали в теме « »:

Ну вот и все, ты научился строить любую гиперболу.

Замечу также, что правила построения гиперболы оказались немного проще, чем для параболы, ведь каждое число просто сдвигает график в какую-то одну сторону. И друг с другом коэффициенты не связаны.

ПОСТРОЕНИЕ ГРАФИКА ОБРАТНОЙ ЗАВИСИМОСТИ. КОРОТКО О ГЛАВНОМ

1. Определение

Функция, описывающая обратную зависимость - это функция вида, где.

График обратной зависимости - гипербола.

2. Коэффициенты, и.

Отвечает за «пологость» и направление графика : чем больше этот коэффициент, тем дальше от начала координат располагается гипербола, и, следовательно, она менее круто «поворачивает» (см. рисунок). Знак коэффициента влияет на то, в каких четвертях расположен график:

• если, и смещение вниз, если .

  Следовательно, - это горизонтальная асимптота .

  3. Правило построения графика функции:

  0) Определяем коэффициенты, и.

  1) Строим график функции (сначала по 3-4 точкам правую ветвь, потом симметрично рисуем левую ветвь).

  2) График должен быть сдвинут вправо на. Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем влево на .

  3) График должен быть сдвинут вверх на. Но проще двигать не график, а оси, так что ось сдвигаем вниз на .

  4) Старые оси (прямые, которые служили нам осями в пункте 1) оставляем в виде пунктирных линий. Это теперь просто вертикальная и горизонтальная асимптоты.

Обрамтные тригонометримческие фумнкции (круговые функции , аркфункции ) - математические функции, являющиеся обратными к тригонометрическим функциям. К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций: арксимнус , арккомсинус , арктамнгенс , арккотангес. Название обратной тригонометрической функции образуется от названия соответствующей ей тригонометрической функции добавлением приставки "арк-" (от лат. arc - дуга). Это связано с тем, что геометрически значение обратной тригонометрической функции можно связать с длиной дуги единичной окружности (или углом, стягивающим эту дугу), соответствующей тому или иному отрезку. Изредка в иностранной литературе пользуются обозначениями типа sin ?1 для арксинуса и т.п.; это считается не совсем корректным, так как возможна путаница с возведением функции в степень?1. Основное соотношение

Функция y=arcsinX, её свойства и графики.

Арксинусом числа m называется такой угол x , для которогоФункция y = sinx y = arcsinx является строго возрастающей. (функция является нечётной).

Функция y=arccosX, её свойства и графики.

Арккосинусом числа m называется такой угол x , для которого

Функция y = cosx непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция y = arccosx является строго убывающей. cos (arccosx ) = x при arccos (cosy ) = y при D (arccosx ) = [? 1; 1], (область определения), E (arccosx ) = . (область значений). Свойства функции arccos (функция центрально-симметрична относительно точки

Функция y=arctgX, её свойства и графики.

Арктангенсом числа m называется такой угол б, для которого Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой. Функция является строго возрастающей.

Свойства функции arctg

Функция y=arcctg, её свойства и графики.

Арккотангенсом числа m называется такой угол x , для которого

Функция непрерывна и ограничена на всей своей числовой прямой.

Функция является строго убывающей. при при 0 < y < р Свойства функции arcctg (график функции центрально-симметричен относительно точки при любых x .

Простейшие тригонометрические уравнения.

Частные случаи тригонометрических уравнений

Определение. Уравнения вада sin x = a; cos x = a; tg x = a; ctg x = a, где x - переменная, aR, называются простейшими тригонометрическими уравнениями.

Тригонометрические уравнения

Аксиомы стереометрии и следствия из них

Основные фигуры в пространстве: точки, прямые и плоскости. Основные свойства точек, прямых и плоскостей, касающиеся их взаимного расположения, выражены в аксиомах.

А1. Через любые три точки, не лежащие на одной прямой, проходит плоскость, и притом только одна. А2. Если две точки прямой лежат в плоскости, то все точки прямой лежат в этой плоскости

Замечание. Если прямая и плоскость имеют только одну общую точку, то говорят, что они пересекаются.

А3. Если две плоскости имеют общую точку, то они имеют общую прямую, на которой лежат все общие точки этих плоскостей.

A и пересекаются по прямой а.

Следствие 1. Через прямую и не лежащую на ней точку проходит плоскость, и притом только одна. Следствие 2. Через две пересекающиеся прямые проходит плоскость, и притом только одна.

Даны определения обратных тригонометрических функций и их графики. А также формулы, связывающие обратные тригонометрические функции, формулы сумм и разностей.

Определение обратных тригонометрических функций

Поскольку тригонометрические функции периодичны, то обратные к ним функции не однозначны. Так, уравнение y = sin x , при заданном , имеет бесконечно много корней. Действительно, в силу периодичности синуса, если x такой корень, то и x + 2πn (где n целое) тоже будет корнем уравнения. Таким образом, обратные тригонометрические функции многозначны . Чтобы с ними было проще работать, вводят понятие их главных значений. Рассмотрим, например, синус: y = sin x . Если ограничить аргумент x интервалом , то на нем функция y = sin x монотонно возрастает. Поэтому она имеет однозначную обратную функцию, которую называют арксинусом: x = arcsin y .

Если особо не оговорено, то под обратными тригонометрическими функциями имеют в виду их главные значения, которые определяются следующими определениями.

Арксинус (y = arcsin x ) - это функция, обратная к синусу (x = sin y

Арккосинус (y = arccos x ) - это функция, обратная к косинусу (x = cos y ), имеющая область определения и множество значений .

Арктангенс (y = arctg x ) - это функция, обратная к тангенсу (x = tg y ), имеющая область определения и множество значений .

Арккотангенс (y = arcctg x ) - это функция, обратная к котангенсу (x = ctg y ), имеющая область определения и множество значений .

Графики обратных тригонометрических функций

Графики обратных тригонометрических функций получаются из графиков тригонометрических функций зеркальным отражением относительно прямой y = x . См. разделы Синус, косинус , Тангенс, котангенс .

y = arcsin x

y = arccos x

y = arctg x

y = arcctg x

Основные формулы

Здесь следует особо обратить внимание на интервалы, для которых справедливы формулы.

arcsin(sin x) = x при
sin(arcsin x) = x
arccos(cos x) = x при
cos(arccos x) = x

arctg(tg x) = x при
tg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x при
ctg(arcctg x) = x

Формулы, связывающие обратные тригонометрические функции

Формулы суммы и разности

при или

при и

при и

при или

при и

при и

при

при

при

при

Глава I. О прогрессиях.
§ 1. Разностная прогрессия 3
§ 2. Вычисление любого члена разностной прогрессии по первому члену и разности 4
§ 3. Свойство членов разностной прогрессии, равноотстоящих от начала и от конца 5
§ 4. Вычисление суммы членов разностной прогрессии по первому члену последнему члену и числу членов -
§ 5. Вычисление суммы членов разностной прогрессии по первому члену разности прогрессии и числу членов 6
§ 6. Кратная прогрессия 11
§ 7. Вычисление любого члена кратной прогрессии по первому члену и знаменателю прогрессии 12
§ 8. Вычисление суммы членов кратной прогрессии по первому члену, поледнему и знаменателю прогрессии -

Глава II. Неравенства.
§ 9. Решение неравенства первой степени 18

Глава III. Основы учения о пределах.
§ 10. О математическом процессе изменения, о постоянных и переменных величинах в нем 23
§ 11. Понятие о величинах бесконечно малых и бесконечно больших. Понятие о пределе переменной величины 25
§ 12. Свойства бесконечно малых 29
§ 13. Основные положения о пределах 30
§ 14. Предельные результаты основных действий 32
§ 15. О десятичных периодических дробях 38
§ 16. Бесконечная кратная прогрессия. Вычисление предела суммы бесконечно убывающей кратной прогрессии 43

Глава IV. Иррациональные числа. Несоизмеримые величины.
§ 17. Понятие об иррациональном числе 49
§ 18. Сравнение иррациональных чисел 53
§ 19. Сложение, вычитание, умножение и деление иррациональных чисел 54
§ 20. Соизмеримые и несоизмеримые величины 57
§ 21 Способ нахождения общей наибольшей меры двух отрезков 57
§ 22. Пример несоизмеримости отрезков 59
§ 23. Отношение отрезков и вообще значений величины 60
§ 24. Понятие об измерении отрезков 61
§ 25. Пропорциональность величин -

Глава V. Правильные многоугольники. Длина окружности. Площадь круга.
§ 26. Определения 64
§ 27. Описанный и вписанный правильные многоугольники -
§ 28. Подобие правильных многоугольников и отношение их периметров 66
§ 29. Соотношения между радиусом круга и сторонами вписанных: квадрата, правильного шестиугольника, правильного треугольника и правильного десятиугольника 67
§ 30. Длина окружности 72
§ 31. Понятие о вычислении п 77
§ 32. Площади правильного многоугольника и круга 82
§ 33. Площадь сектора 84

Глава VI. Объемы призм и пирамид.
§ 34. Объем параллелепипеда 87
§ 35. Правило Кавальер и. Объем призмы 90
§ 36. Объем пирамиды 91
§ 37. Вспомогательные теоремы и замечания 98

Глава VII. Поверхности и объемы круглых тел.
§ 38. Общие сведения о цилиндре и конусе 107
§ 39. Поверхность цилиндра 109
§ 40. Поверхность конуса 110
§ 41. Объем цилиндра.. 111
§ 42. Объем конуса 112
§ 43. Тела вращения 113
§ 44. Теоремы Гюльдена 117
§ 45. Шар 118

Глава VIII. Гониометрия.
§ 46. Задачи гониометрии 126
§ 47. Угол и дуга, как переменные величины. Обобщение понятий дуги и угла -
§ 48. Радианное измерение дуг и углов 132
§ 49. Круговые функции. Синус и косинус угла и дуги 136
§ 50. Круговые функции. Тангенс и котангенс угла и дуги 14?
§ 51. Круговые функции отрицательного аргумента 144
§ 52. Круговые функции углов и дуг свыше 2 я. Периодичность круговых функций 146
§ 53. Графики круговых функций
§ 54. Зависимость между функциями дополнительных углов
§ 55. Приведение круговых функций к меньшему значению аргумента
§ 56. Понятие об обратных круговых функциях
§ 57. Синус, косинус и тангенс суммы и разности двух углов
§ 58. Синус, косинус и тангенс двойного угла и половины угла
§ 59. Основные формулы приведения тригонометрических выражений к виду удобному для логарифмирования
§ 60. Преобразования, приводящие к применению предыдущих формул
§ 61. Введение вспомогательного угла

Глава IX. Решение косоугольного треугольника.
§ 62 Основные соотношения между элементами косоугольного треугольника 172
§ 63 Вывод формул для определения тангенса половинного угла треугольника -
§ 64 Формулы для определения отношения суммы или разности двух сторон треугольника к третьей 175
§ 65 Теорема тангенсов 177
§ 66 Различные выражения площади треугольника 178
§ 67 Основные случаи решения косоугольного треугольника -
§ 68 Приложение формул косоугольного треугольника к различным вопросам 184

Глава X. Уравнения высших степеней, показательные, логарифмические и тригонометрические.
§ 69. Общие замечания о решении простейших уравнений высших степеней, сводящихся к уравнениям 1-й и 2-й степени 187
§ 70. Возвратные уравнения четвертой степени -
§ 71. Двучленные уравнения 189
§ 72. Трехчленные уравнения 192
§ 73. Решение систем уравнений 194
§ 74. Показательные уравнения 198
§ 75. Логарифмические уравнения 200
§ 76. Общие замечания о тригонометрических уравнениях 203
§ 77. Общие выражения обратных круговых функций 205
§ 78. Решение тригонометрических уравнений 209

Глава XI. Теория соединений. Бином Ньютона.
§ 79. Общие замечания о соединениях 214
§ 80. Размещения 215
§ 81. Перестановки 217
§ 82. Сочетания 218
§ 83. Некоторые свойства сочетаний 220
§ 84. Бииом Ньютона (для целого и положительного показателя) 222
§ 85.Формула общего члена бинома Ньютона 226
§ 86. Свойства коэфициентов бинома 228

Составлена в соответствии с программами Гуса 1927 г.
под РЕДАКЦИЕЙ А. М. ВОРОНЦА
Издание четвертое, стереотипное 41 - 60 тысяча
Научно-педагогической секцией Государственного ученого совета допущено для школ 11 ступени

О ПРОГРЕССИЯХ. § 1. Разностная прогрессия.
Разностной прогрессией называется ряд чисел, в котором каждое последующее число получается из предыдущего прибавлением к нему одного и того же числа, называемого разностью прогрессии.
Числа, составляющие прогрессию, называются ее членами.
Если разность положительна, прогрессия называется возрастающей, потому что по мере удаления от начала ряда члены его приобретают возрастающие численные значения. Если разность отрицательна, прогрессия будет убывающая, потому что численное значение членов по мере удаления от начала ряда убывает.
KOHEЦ ФPAГMEHTA УЧЕБНИКА