Смо с отказами определения и формулы. Математические модели простейших систем массового обслуживания
Рассмотрим СМО с одним каналом обслуживания, в которую поступает поток требований с интенсивностью λ . Интенсивность обслуживания одного требования равна μ . Требуется найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности. Система S в данном случае имеет 2 состояния: S 0 - канал свободен и S 1 канал занят. Нарисуем граф состояний системы, т.е. геометрическую схему, на которой состояние системы изображаются прямоугольниками, а переходы из состояния в состояние - стрелками:
S 0 μ S 1
Для составление уравнения предельных состояний применяется правило: слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния р i , умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, ведущих из данного состояния, а справа - сумма произведений интенсивностей всех потоков, входящих в состояние I, на вероятности тех состояний, из которых эти потоки выходят.
Для данного графа система уравнений для вероятностей состояний имеет вид:
l ρ 0 =μ ρ 1
m ρ 1 =λ ρ 0
т.е. имеет одинаковые уравнения. Учитывая, что р 1 +р 0 =1, получаем систему:
l ρ 0 =μ ρ 1
ρ 1 =ρ 0 =1 (6.6)
Обозначим:
a =λ /μ (6.7)
Величина a называется интенсивностью загрузки канала. Она выражает среднее число требований, приходящее за среднее время обслуживания, одного требования. Тогда из системы (6.6), с учетом формулы (6.7), получим выражения для предельных вероятностей состояний:
р 0 - вероятность того, что канал обслуживания свободен, т.е. характеризует относительную пропускную способность СМО.
р 1 - вероятность того, что канал занят, т.е. вероятность отказа.
Абсолютная пропускная способность:
A = λ × p 0 (6.9)
Среднее число занятых обслуживанием каналов:
N = a × (1– P отк ) (6.10)
Пример: Стол заказов магазина принимает заказы по одному телефону. Заявки поступают с интенсивностью 80 заявок в час, а среднее время оформления одной заявки 3 минуты. Определить показатели эффективности работы стола заказов.
Решение: λ =80заявок/час, t =3мин.
Вычислим интенсивность загрузки канала a . При этом следует обратить внгимание, что при вычислении a , λ и t должны иметь одинаковую временную размерность. Поэтому в нашем примере нужно преобразовать одну из данных величин, например, t .
t =2мин=3/60часа=1/20часа.
Тогда 
1. Доля времени простоя канала:
Следовательно, 20% времени канал будет свободен, значит в среднем только 20% заявок может быть обслужено.
2. Доля заявок, получивших отказ в обслуживании, равна:
т.е. 80% времени телефон будет занят обслуживанием.
3. Абсолютная пропускная способность системы:
Из вычислений видно, что СМО с одним телефоном будет плохо справляться с потоком заявок, т.к. потери поступающих заявок составляют 80%, а вероятность обслуживания всего 20%. Кроме того, низка абсолютная пропускная способность системы – только 16 завявок из 80 поступивших.
Система Эрланга
В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:
А - абсолютную пропускную способность СМО,
т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Q
- относительную пропускную способность,
т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;
P отк.
- вероятность отказа,
т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;
- среднее число занятых каналов
(для многоканальной системы).
Одноканальная система с отказами
. Рассмотрим задачу.
Имеется один канал, на который поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ 1 . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет два состояния: S 0 - канал свободен, S 1 - канал занят. Размеченный граф состояний представлен на рис. 6.
Рис. 6
В предельном, стационарном режиме система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид.
(18)
т.е. система вырождается в одно уравнение. Учитывая нормировочное условие p 0 +p 1 =1,
найдем из (18) предельные вероятности состояний
(19)
которые выражают среднее относительное время пребывания системы в состоянии S 0 (когда канал свободен) и S 1 (когда канал занят), т.е. определяют соответственно относительную пропускную способность Q системы и вероятность отказа P отк:
(20)
(21)
Абсолютную пропускную способность найдем, умножив относительную пропускную способность Q на интенсивность потока отказов
(22)
Задача 5.
Известно, что заявки на телефонные переговоры в телевизионном ателье поступают с интенсивностью λ, равной 90 заявок в час, а средняя продолжительность разговора по телефону об. =2 мин. Определить показатели эффективности работы СМО (телефонной связи) при наличии одного телефонного номера.
Решение.
Имеем λ=90 (1/ч), об. =2 мин. Интенсивность потока обслуживании μ=1/ об =1/2=0,5 (1/мин)=30 (1/ч). По (20) относительная пропускная способность СМО (Q=30/(90+30)=0,25, т.е. в среднем только 25% поступающих заявок осуществят переговоры по телефону. Соответственно вероятность отказа в обслуживании составит Р отк. =0,75 (см.
(21)).
Абсолютная пропускная способность СМО по (29) ,A=90∙0,25=22,5, т.е. в среднем в час будут обслужены 22,5 заявки на переговоры. Очевидно, что при наличии только одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.
Многоканальная система с отказами
. Рассмотрим классическую задачу Эрланга.
Имеется n
каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью λ. Поток обслуживаний имеет интенсивность μ.
Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система S (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): S 0 , S 1 , S 2 , …, S k , …, S n , где S k
- состояние системы, когда в ней находится k
заявок, т.е. занято k
каналов.
Граф состояний СМОсоответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 7.
Рис. 7
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью λ.
Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии S 2 (два канала заняты), то она может перейти в состояние. S 1 (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, т.е. суммарная интенсивность их потоков обслуживании будет 2μ. Аналогично суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния S 3 (три канала заняты) в S 2 . будет иметь интенсивность Зμ, т.е. может освободиться любой из трех каналов и т.д.
В формуле (16) для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния
(23)
где членыразложения
будут представлять собой коэффициенты приp 0 в выражениях для предельных вероятностей p 1 , p 2 , …, p k , …, p n .
Величина
(24)
называется приведенной
интенсивностью потока заявок
или интенсивностью нагрузки канала.
Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь
(25)
есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных
системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем μ заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов
(30)
или, учитывая (29), (24):
(31)
Окончание табл. 8
Пример 6. Пусть на телефонную линию филиала банка производительностью вызовов/мин и простейшим потоком обслуживания поступает простейший поток вызовов клиентов с интенсивностью вызовов/мин. Определить предельные значения относительной пропускной способности Q ,абсолютной пропускной способности А и вероятность отказа р отк телефонной линии. Определить также среднее время обслуживания одного вызова, среднее время простоя канала и вероятность того, чтоканал свободен или занят.
Так как математической моделью телефонной линии является одноканальная CMО с отказами, характеризующаяся параметрами: интенсивностью входящего потока и интенсивностью потока обслуживания , то по формуле из табл. 1 определим предельную вероятность отказа:
или ,
т. е. в установившемся режиме из каждых 100 заявок в среднем 53 получают отказ.
Определим предельное значение относительной Q и абсолютной А пропускной способности СМО:
Из расчета следует, что случайный характер поступления телефонных вызовов и случайный характер длительности разговоров порождают ситуацию, что абсолютная пропускная способность разговора/мин почти в два раза меньше производительности телефонной линии вызовов/мин.
Среднее время обслуживания 
мин.
Среднее время простоя канала 
мин.
Вероятность того, что канал свободен,
.
Вероятность того, что канал занят,
.
Таким образом, вероятность того, что канал занят, больше вероятности того, что канал свободен, и этого следовало ожидать, так как интенсивность входящего потока больше интенсивности производительности канала .
2. Многоканальная СМО с отказами (задача Эрланга).
Имеется n каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью l. Поток обслуживания имеет интенсивность m. Предельные характеристики эффективности функционирования многоканальной СМО с отказами приведены в табл. 9.
Пример 7. Пункт по приему техники работает в режиме отказа с двумя бригадами. Интенсивность потока заявок заявки в день, среднее время обслуживания заявки . Определить вероятность того, что оба канала свободны, один канал занят, оба канала заняты, вероятность отказа, относительную и абсолютную пропускные способности, среднее число занятых бригад.
Таблица 9
Предельные характеристики функционирования
Многоканальной СМО с отказами
| Характеристики в момент времени t | Формулы |
| 1. Коэффициент использования | |
| 2. Вероятность того, что каналы свободны |  |
| 3. Вероятность занятости n каналов | |
| 4. Вероятность отказа заявке | |
| 5. Вероятность отказа заявке | |
| 6. Относительная пропускная способность СМО |  |
| 7. Абсолютная пропускная способность СМО |  |
| 8. Среднее время обслуживания заявок | |
| 9. Среднее число занятых каналов |  |
Рассчитываем интенсивность потока обслуживания
Краткая теория
В качестве показателей эффективности СМО с отказами будем рассматривать:
Абсолютную пропускную способность СМО, т.е. среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени;
Относительную пропускную способность, т.е. среднюю долю пришедших заявок, обслуживаемых системой;
Вероятность отказа, т.е. того, что заявка покинет СМО необслуженной;
Среднее число занятых каналов.
Рассмотрим классическую задачу Эрланга.
Имеется каналов, на которые поступает поток заявок с интенсивностью . Поток обслуживаний имеет интенсивность . Найти предельные вероятности состояний системы и показатели ее эффективности.
Система (СМО) имеет следующие состояния (нумеруем их по числу заявок, находящихся в системе): , где – состояние системы, когда в ней находится заявок, то есть занято каналов.
Граф состояний СМО соответствует процессу гибели и размножения и показан на рисунке.
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое с одной и той же интенсивностью . Интенсивность же потока обслуживаний, переводящих систему из любого правого состояния в соседнее левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Действительно, если СМО находится в состоянии (два канала заняты), то она может перейти в состояние (один канал занят), когда закончит обслуживание либо первый, либо второй канал, то есть суммарная интенсивность их потоков обслуживаний будет . Аналогично, суммарный поток обслуживаний, переводящий СМО из состояния (три канала заняты) в будет иметь интенсивность , то есть может освободиться любой из трех каналов и так далее.
Для схемы гибели и размножения получим для предельной вероятности состояния:
где члены разложения будут представлять собой коэффициенты при в выражениях для предельных вероятностей . Величина
называется приведенной интенсивностью потока заявок или интенсивностью нагрузки канала. Она выражает среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Теперь:
Последние формулы для предельных вероятностей получили названия формул Эрланга в честь основателя теории массового обслуживания.
Вероятность отказа СМО есть предельная вероятность того, что все каналов системы будут заняты, то есть:
Относительная пропускная способность – вероятность того, что заявка будет обслужена:
Абсолютная пропускная способность:
Среднее число занятых каналов есть математическое ожидание числа занятых каналов:
где – предельные вероятности состояний
Однако среднее число занятых каналов можно найти проще, если учесть, что абсолютная пропускная способность системы есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок (в единицу времени). Так как каждый занятый канал обслуживает в среднем заявок (в единицу времени), то среднее число занятых каналов:
Пример решения задачи
Условие задачи
Контроль готовой продукции фирмы осуществляют три контролера. Если изделие поступает на контроль, когда все контролеры заняты проверкой готовых изделий, то оно остается непроверенным. Среднее число изделий, выпускаемых фирмой, составляет 20 изд./ч. Среднее время на проверку одного изделия - 7 мин.
Определить показатели эффективности отдела технического контроля. Сколько контролеров необходимо поставить, чтобы вероятность обслуживания составила не менее 97%?
Оказались на этой странице, пытаясь решить задачу на экзамене или зачете? Если так и не смогли сдать экзамен - в следующий раз договоритесь заранее на сайте об Онлайн помощи по методам оптимальных решений .
Решение задачи
Контроль представляет собой открытую многоканальную систему массового обслуживания с отказом в обслуживании.
За единицу измерения времени выберем час. Будем считать, что контроль работает в установившемся режиме. По условию задачи
–число каналов обслуживания
Изделий в час –интенсивность потока заявок
Изделий в час –интенсивность потока обслуживания
Вычислим –относительные интенсивности переходов из состояние в состояние:
Вычислим :
Вероятность отказа:
Вероятность обслуживания
Абсолютная пропускная способность системы:
–среднее число заявок, обслуживаемых системой в единицу времени.
Среднее число каналов, занятых обслуживанием заявки:
Вычислим, сколько контролеров нужно поставить, чтобы вероятность обслуживания составила не менее 97%:
Таким образом, чтобы вероятность обслуживания составляла не менее 97%, необходимо иметь 6 контролеров.
Средняя стоимость решения контрольной работы 700 - 1200 рублей (но не менее 300 руб. за весь заказ). На цену сильно влияет срочность решения (от суток до нескольких часов). Стоимость онлайн-помощи на экзамене/зачете - от 1000 руб. за решение билета.
Все вопросы по стоимости можете задать прямо в чат, предварительно скинув условие задач и сообщив необходимые вам сроки решения. Время ответа - несколько минут.
Примеры близких по теме задач
СМО с неограниченной очередью
Приведены необходимые теоретические сведения и образец решения задачи по теме "Многоканальная система массового обслуживания с неограниченной очередью", подробно рассмотрены показатели многоканальной системы массового обслуживания (СМО) с ожиданием обслуживания - среднее число каналов, занятых обслуживанием заявки, длина очереди, вероятность образования очереди, вероятность свободного состояния системы, среднее время ожидания в очереди.
Задача оптимального распределения ресурсов
Кратко изложены основные принципы динамического программирования (динамического планирования), рассмотрены уравнения Беллмана. Подробно решена задача оптимального распределения ресурсов между предприятиями.
Метод множителей Лагранжа
На странице рассмотрено нахождение условного экстремума методом множителей Лагранжа. Показано построение функции Лагранжа на примере решения задачи нелинейного программирования. Решенную задачу предваряет краткая теория.
Вектор конечного потребления и вектор валового выпуска
На примере решения задачи рассмотрена межотраслевая модель Леонтьева. Показано вычисление матрицы коэффициентов прямых материальных затрат, матрицы «затраты-выпуск», матрицы коэффициентов косвенных затрат, векторов конечного потребления и валового выпуска.
Одноканальная система массового обслуживания с отказами.
Предположим, что СМО состоит из одного канала обслуживания и на ее вход поступает пуассоновский поток заявок с интенсивностью X, т. е. непрерывная случайная величина Т - время между соседними заявками распределено по экспоненциальному закону, время обслуживания каждой заявки имеет такое же распределение с параметром р. Параметры X и р называются соответственно интенсивностью потока заявок и интенсивностью потока обслуживании.
Система массового обслуживания может находиться в одном из двух состояний: s 0 - канал свободен (простаивает) или s, - канал занят. Из состояния s 0 в состояние s, систему переводит поток входящих заявок, а из состояния s, в состояние s 0 - поток обслуживании. Плотности вероятностей переходов из состояния s 0 в состояние s { и обратно равны соответственно X и р.
Граф состояний СМО показан на рис. 1.5.
Рис.
в состоянии s 0 или s t соответственно. Очевидно, что справедливо нормировочное условие p 0 (t) + Pi (t) = 1.
Учитывая, что случайный процесс, протекающий в СМО, является марковским, вероятности p 0 (t) и pj(t) можно определить из системы уравнений Колмогорова:
Подстановка нормировочного условия в эту систему приводит к обыкновенному дифференциальному уравнению относительно p 0 (t):
Принимая условие, что в начальный момент времени при t = О канал свободен, т. е. р 0 (0) = 1 и pj(0) = 0, можно получить решение уравнения (1.20) в следующем виде:
С использованием нормировочного условия можно также установить выражение для определения pj(t):
В предельном стационарном режиме (при t -» °°) система алгебраических уравнений для вероятностей состояний имеет вид:
Учитывая нормировочное условие, определим предельные вероятности состояний
Рассмотрим основные показатели эффективности работы одноканальной СМО с отказами.
Так как вероятность обслуживания поступивших заявок в такой системе равна р 0 , а относительная пропускная способность Q равна отношению среднего числа обслуженных заявок к среднему числу поступивших заявок за единицу времени, то Q = р 0 , т. е. для одноканальной СМО с отказами
Абсолютная пропускная способность СМО - это среднее число заявок, обслуживаемых в единицу времени, или интенсивность выходящего потока:
Вероятность отказа в СМО возникает, когда канал занят, это вероятность Р!
Среднее время обслуживания заявки есть величина, обратная р:
Аналогично можно определить среднее время простоя канала:
Среднее время пребывания заявки в системе вычисляется по формуле:
Пример 1.4. На телефонную линию оператора сотовой связи приходит простейший поток вызовов с интенсивностью X = 1,5 заявки в минуту. Производительность линии р = 0,4 вызова в минуту. Вызов, пришедший на линию во время ее занятости, не обслуживается. Определить абсолютную пропускную способность линии, среднее время обслуживания одного вызова, вероятность отказов обслуживаний, а также среднее время пребывания заявки в системе.
Решение. 1. По формулам (1.27)-(1.31), проведя необходимые расчеты, получаем: А = 0,32 выз./мин; р отк = 0,79; t o6cjI = 2,5 мин;
- 1 сист = °> 52 МИН -
- 2. Расчетные данные свидетельствуют о том, что при наличии одного телефонного номера СМО будет плохо справляться с потоком заявок.
Многоканальная СМО с отказами.
На вход системы, имеющей п каналов, поступает простейший поток заявок с интенсивностью X, поток обслуживаний каждым каналом также является простейшим с интенсивностью р.
Пронумеруем состояния системы по числу занятых каналов (каждый канал в системе либо свободен, либо обслуживает только одну заявку).
Система имеет следующие состояния: где s k -
состояние системы, когда в ней находится к заявок, т. е. занято к каналов.
Граф состояний такой системы соответствует процессу гибели и размножения и показан на рис. 1.6.
Рис. 1.6.
Поток заявок последовательно переводит систему из любого левого состояния в соседнее правое состояние с одной и той же интенсивностью к. Интенсивность же потока обслуживания, переводящая систему из любого правого состояния в левое состояние, постоянно меняется в зависимости от состояния. Рассмотрим в качестве примера СМО, находящуюся в состоянии s 2 , когда заняты два канала. Система может перейти в состояние s t когда закончится обслуживание второго либо первого канала, соответственно суммарная интенсивность обслуживании будет равна 2р.
Воспользовавшись формулой (1.18) для процесса гибели и размножения, получим следующее выражение для предельной вероятности состояния р 0
Введем обозначение которое называется приведенной интенсивностью потока заявок (интенсивностью нагрузки каналов). Эта величина представляет собой среднее число заявок, приходящее за среднее время обслуживания одной заявки. Тогда мы можем получить следующую формулу:
Используя выражение (1.19), имеем:
Приведенные формулы (1.34) в технической литературе получили название формул Эрланга (датский инженер, математик - один из основателей теории массового обслуживания).
Запишем аналитические выражения для оценки основных показателей эффективности работы рассматриваемой СМО. Исходя из принципа работы такой СМО отказ в обслуживании заявки наступает, когда все каналы заняты, а система находится в состоянии s n , т. е. вероятность отказа СМО
Поскольку событие обслуживания заявки и событие отказа в ее обслуживании являются противоположными, вероятность обслуживания заявки (вероятность того, что свободен хотя бы один канал) будет
Относительная пропускная способность СМО определяется как вероятность ее обслуживания
Абсолютная пропускная способность СМО (она же интенсивность потока обслуженных заявок):
Для многоканальных СМО важным показателем эффективности их работы является среднее число занятых каналов к (математическое ожидание числа занятых каналов)
Учитывая, что абсолютная пропускная способность системы А есть не что иное, как интенсивность потока обслуженных системой заявок в единицу времени, а каждый занятый канал обслуживает в среднем р заявок в единицу времени, среднее число занятых каналов можно определить по формуле:
Пример 1.5. Вычислительный центр электросетевой компании оборудован тремя ЭВМ, на которые поступают заказы по выполнению вычислительных работ. Если работают одновременно все три ЭВМ, то вновь поступающий заказ не принимается. Среднее время работы с одним заказом 2,5 ч. Интенсивность потока заявок 0,2 ч -1 . Определить и проанализировать предельные вероятности состояний и показатели эффективности работы вычислительного центра.
Решение. 1. Определим параметры СМО: п = 2; X = 0,2 ч -1 ;
интенсивность потока обслуживания
; интенсивность нагрузки ЭВМ р = 0,2/0,4 = 0,5.
2. Найдем вероятности состояний: вероятность того, что в системе отсутствуют заявки:
вероятности других состояний:
вероятность того, что пришедшая заявка получит отказ:
Таким образом, в стационарном режиме работы вычислительного центра в среднем в течение 61 % времени нет ни одной заявки, в 30 % времени имеется одна заявка (занята одна ЭВМ), в 8 % - две заявки (заняты две ЭВМ) и в 1 % - три заявки (заняты три ЭВМ). Вероятность отказа, когда все три ЭВМ заняты - р отк = 0,01.
3. Определим показатели эффективности вычислительного центра: относительная пропускная способность:
т. е. из каждой сотни заявок вычислительный центр обслуживает 99;
абсолютная пропускная способность вычислительного центра:
т. е. в один час в среднем обслуживается 0,2 заявки; среднее число занятых ЭВМ:
Технико-экономический анализ полученных данных должен базироваться на сопоставлении доходов от выполнения заявок с потерями от простоя дорогостоящих ЭВМ. Как видим, в данном случае наблюдается высокая пропускная способность вычислительного центра, но значительный простой каналов обслуживания. Необходим поиск компромиссного решения.
Загрузка...
